Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:*$(1+\sqrt 3)(a^2+c^2) \ge2(1+\sqrt 3).ac$*$\left (\frac{1+\sqrt 3}2 \right)b^2+a^2\ge (1+\sqrt 3)ab$*$ \left (\frac{1+\sqrt 3}2 \right)b^2+c^2\ge (1+\sqrt 3)cb$~~~ Cộng vế theo vế 3 bdt trên, ta có :$(1+\sqrt 3)(a^2+c^2)+(a^2+c^2)+2\left( \frac{1+\sqrt3}2 \right)^2\ge (1+\sqrt 3)(ab+bc+2ac)$$\Leftrightarrow (2+\sqrt 3)(a^2+b^2+c^2) \ge (1+\sqrt 3)(ab+bc+2ac) $$\Leftrightarrow ab+bc+2ca \le \frac{2+\sqrt 3}{1+\sqrt 3}.1$ $\Leftrightarrow P \le \frac{1+\sqrt 3}{2}$~~~~~~~~Vậy $\max P=\frac{1+\sqrt 3}{2}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=c= \sqrt{\dfrac{3+\sqrt3}{12}},b=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt 3}{6}}\\ a=c= -\sqrt{\dfrac{3+\sqrt3}{12}},b=-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt 3}{6}} \end{array} \right.$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:*$(1+\sqrt 3)(a^2+c^2) \ge2(1+\sqrt 3).ac$*$\left (\frac{1+\sqrt 3}2 \right)b^2+a^2\ge (1+\sqrt 3)ab$*$ \left (\frac{1+\sqrt 3}2 \right)b^2+c^2\ge (1+\sqrt 3)cb$~~~ Cộng vế theo vế 3 bdt trên, ta có :$(1+\sqrt 3)(a^2+c^2)+(a^2+c^2)+2\left( \frac{1+\sqrt3}2 \right)^2b^2\ge (1+\sqrt 3)(ab+bc+2ac)$$\Leftrightarrow (2+\sqrt 3)(a^2+b^2+c^2) \ge (1+\sqrt 3)(ab+bc+2ac) $$\Leftrightarrow ab+bc+2ca \le \frac{2+\sqrt 3}{1+\sqrt 3}.1$ $\Leftrightarrow P \le \frac{1+\sqrt 3}{2}$~~~~~~~~Vậy $\max P=\frac{1+\sqrt 3}{2}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=c= \sqrt{\dfrac{3+\sqrt3}{12}},b=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt 3}{6}}\\ a=c= -\sqrt{\dfrac{3+\sqrt3}{12}},b=-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt 3}{6}} \end{array} \right.$

Áp dụng bdt $AM-GM$ cho 6 số :$\frac 13+\frac{5x^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6x^5}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}$Tương tự ta có: $\frac 13+\frac{5y^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6y^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$$ \qquad \qquad\qquad \frac 13+\frac{5y^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6y^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$Cộng 3 vế bdt trên $\Rightarrow 1+5 \ge \frac{6(x^5+y^5+z^5)}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}\Leftrightarrow 3(x^6+y^6+z^6)^5 \ge (x^5+y^5+z^5)^6$Mà $x^5+y^5+z^5=x^6+y^6+z^6=3$ nên dấu bằng xảy raDấu bằng xảy ra của bđt là $x=y=z=1$Và đó cũng là nghiệm của hệ phương trình

Áp dụng bdt $AM-GM$ cho 6 số :$\frac 13+\frac{5x^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6x^5}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}$Tương tự ta có: $\frac 13+\frac{5y^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6y^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$$ \qquad \qquad\qquad \frac 13+\frac{5z^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6z^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$Cộng 3 vế bdt trên $\Rightarrow 1+5 \ge \frac{6(x^5+y^5+z^5)}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}\Leftrightarrow 3(x^6+y^6+z^6)^5 \ge (x^5+y^5+z^5)^6$Mà $x^5+y^5+z^5=x^6+y^6+z^6=3$ nên dấu bằng xảy raDấu bằng xảy ra của bđt là $x=y=z=1$Và đó cũng là nghiệm của hệ phương trình

Giúp em với ạ!!! Cần gấp !!!

Cho x,y\geq 0, x+y =1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = (4x^{2} + 3y)(4y^{2} + 3y) + 25xy

GTLN, GTNN

Giúp em với ạ!!! Cần gấp !!!

Cho $x,y\geq0, x+y =1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $P = (4x^{2}+3y)(4y^{2}+3y)+25xy$

GTLN, GTNN

nhanh rum nha

Cho cac cap so ( x;y) thoa man x^2 + 2y^2 +2xy-3x -3y = -2 de x+y la so nguyen

Phương trình mũ

nhanh rum nha

Cho cac cap so $( x;y)$ thoa man $x^2 + 2y^2 +2xy-3x -3y = -2$ de $x+y$ la so nguyen

Phương trình nghiệm nguyên

Có ai biết cách làm tổng quát của dạng pt này giúp mk vs?

Giải pt 4x^{2}-6x-11+\sqrt{3x+4}+\sqrt{7-3x}=0

Phương trình mũ

Có ai biết cách làm tổng quát của dạng pt này giúp mk vs?

Giải pt $4x^{2}-6x-11+\sqrt{3x+4}+\sqrt{7-3x}=0$

Phương trình vô tỉ

$VT=\sum_{cyc}\frac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2}+1} \overset{AM-GM}{\ge} \sum_{cyc} \frac{(x+1)(y+1)^2}{x+z+xz+1}$$=\sum_{cyc}\frac{(x+1)(y+1)^2}{(x+1)(z+1)}=\sum_{cyc}\frac{(y+1)^2}{z+1} \overset{Cauchy-Schwarz}\ge \frac{(x+y+z+3)^2}{x+y+z+3}=x+y+z+3$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~BDT đc cm, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$

$VT=\sum_{cyc}\frac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2}+1} \overset{AM-GM}{\ge} \sum_{cyc} \frac{(x+1)(y+1)^2}{x+z+xz+1}$$=\sum_{cyc}\frac{(x+1)(y+1)^2}{(x+1)(z+1)}=\sum_{cyc}\frac{(y+1)^2}{z+1} \overset{Cauchy-Schwarz}\ge \frac{(x+y+z+3)^2}{x+y+z+3}=x+y+z+3$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~BDT đc cm, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Ta có$S_{MNKH}=S_{MNFE}+(S_{NFK}+S_{NEH})=S_{MNFE}+(S_{NFB}+S_{MEB})$$=S_{MNFE}+(S_{MNFE}-S_{MNB})=2S_{MNFE}-S_{MNB}$*Kẻ $BP \perp MN$ tại $P$ khi đó trong $\triangle OPB$ vuông có $PB \le OB=R$$S_{MNB}=\frac{BP.MN}2 =BP.R\le R^2$ (1)*$S_{MNFE}=2S_{OFE}=OB.EF=R.(FB+BE) \ge R.2\sqrt{FB.BE}=2R^2$(do$FB.BE=OB^2$) $(2)$Từ $(1),(2)\Rightarrow 2S_{MNFE}-S_{MNB} \ge 3R^2$$\Rightarrow S_{MNKH} \ge 3R^2$~~~~~~~~~~~Nên $S_{MNKH}$ đạt $\min=3R^2$ khi và chỉ khi $MN \perp AB$Vậy $MN \perp AB$

Ta có$S_{MNKH}=S_{MNFE}+(S_{NFK}+S_{NEH})=S_{MNFE}+(S_{NFB}+S_{MEB})$$=S_{MNFE}+(S_{MNFE}-S_{MNB})=2S_{MNFE}-S_{MNB}$*Kẻ $BP \perp MN$ tại $P$ khi đó trong $\triangle OPB$ vuông có $PB \le OB=R$$S_{MNB}=\frac{BP.MN}2 =BP.R\le R^2$ (1)*$S_{MNFE}=2S_{OFE}=OB.EF=R.(FB+BE) \ge R.2\sqrt{FB.BE}=2R^2$(do$FB.BE=OB^2$) $(2)$Từ $(1),(2)\Rightarrow 2S_{MNFE}-S_{MNB} \ge 3R^2$$\Rightarrow S_{MNKH} \ge 3R^2$~~~~~~~~~~~Nên $S_{MNKH}$ đạt $\min=3R^2$ khi và chỉ khi $MN \perp AB$Vậy $MN \perp AB$ thỏa mãn ycbt~~~~~~~~~

lop 9

Cho 2 so duong x, y thoa man x+y >= 5 Tim GTNN cua bieu thuc A = 18x + 56/3y + 4/x + 15/y

GTLN, GTNN

lop 9

Cho 2 so duong x, y thoa man x+y >= 5 Tim GTNN cua bieu thuc $A = 18x + \frac{56}{3}y + \frac4x + \frac{15}y$

GTLN, GTNN

Áp dụng bdt holder :$ \left( \frac{x^3}{x^2+2yz}+\frac{y^3}{y^2+2zx}+\frac{z^3}{z^2+2xy} \right) [(x^2+2yz)+(y^2+2zx)+(z^2+2xy)](1+1+1)$$\ge (x+y+z)^3$$\Leftrightarrow VT \ge \frac{(x+y+z)^3}{3(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}=\frac{x+y+z}{3} \ge \frac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{2}=\frac 32$BDT đc cm ,dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Áp dụng bdt holder :$ \left( \frac{x^3}{x^2+2yz}+\frac{y^3}{y^2+2zx}+\frac{z^3}{z^2+2xy} \right) [(x^2+2yz)+(y^2+2zx)+(z^2+2xy)](1+1+1)$$\ge (x+y+z)^3$$\Leftrightarrow VT \ge \frac{(x+y+z)^3}{3(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}=\frac{x+y+z}{3} \ge \frac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{3}=1$BDT đc cm ,dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

a/d Cauchy cho 2x và xy dg$4 = 2x+xy \geq 2\sqrt{2x^2y}$$\Rightarrow $ $x^2y\leq 2$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=1, y=2$

a/d Cauchy cho 2x và xy dg$4 = 2x+xy \geq 2\sqrt{2x^2y}$$\Rightarrow $ $x^2y\leq 2$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}2x=xy \\ 2x+xy=4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=2 \end{cases}$

a/d Cauchy cho 2x và xy dg$4 = 2x+xy \geq 2\sqrt{2x^2y}$$\Rightarrow $ $x^2y\leq 2$Đẳng thức xảy ra khi $2x=xy$ và $2x+xy=4$ và $x^2y=2$$\Rightarrow x=.... y=.....$

a/d Cauchy cho 2x và xy dg$4 = 2x+xy \geq 2\sqrt{2x^2y}$$\Rightarrow $ $x^2y\leq 2$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=1, y=2$

$bpt\Leftrightarrow 3x^2+3x+4 \ge (3x+2)\sqrt{x^2+3}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^2+3x+4)^2-(3x+2)^2(x^2+3) \ge0 \\ x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^3+x^2-6x+2 \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)(3x^2+4x-2) \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ \dfrac{-\sqrt{10}-2}{3} \le x \le \dfrac{\sqrt{10}- 2}{3} \end{array} \right. \\x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ \dfrac{-2}{3} \le x \le \dfrac{\sqrt{10}-2}{3} \end{array} \right.$

$bpt\Leftrightarrow 3x^2+3x+4 \ge (3x+2)\sqrt{x^2+3}$Với $x < \frac {-2}3$ thì $VT>0$, $VP<0$ ( đúng)Với $x \ge \frac{-2}3$bpt $\Leftrightarrow 3x^2+3x+4 \ge (3x+2)\sqrt{x^2+3}$$\Leftrightarrow (3x^2+3x+4)^2-(3x+2)^2(x^2+3) \ge0$$\Leftrightarrow 3x^3+x^2-6x+2 \ge0$$\Leftrightarrow (x-1)(3x^2+4x+2) \ge0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ \dfrac{-\sqrt{10}-2}3 \le x \le \dfrac{\sqrt{10}-2}{3} \end{array} \right.$Kết hợp nghiệm đc $x \in \left(- \infty ;\frac{\sqrt{10}-2}3 \right] \cup [1;+\infty)$

$bpt\Leftrightarrow 3x^2+3x+4 \ge (3x+2)\sqrt{x^2+3}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^2+3x+4)^2-(3x+2)^2(x^2+3) \ge0 \\ x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^3+x^2-6x+2 \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)(3x^2+4x-2) \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ \dfrac{-\sqrt{10}-2}{3} \le x \le \dfrac{\sqrt{10}- 2}{3} \end{array} \right. \\x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ \dfrac{-2}{3} \le x \le \dfrac{-\sqrt{10}-2}{3} \end{array} \right.$

$bpt\Leftrightarrow 3x^2+3x+4 \ge (3x+2)\sqrt{x^2+3}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^2+3x+4)^2-(3x+2)^2(x^2+3) \ge0 \\ x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^3+x^2-6x+2 \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)(3x^2+4x-2) \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ \dfrac{-\sqrt{10}-2}{3} \le x \le \dfrac{\sqrt{10}- 2}{3} \end{array} \right. \\x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ \dfrac{-2}{3} \le x \le \dfrac{\sqrt{10}-2}{3} \end{array} \right.$

$bpt\Leftrightarrow 3x^2+3x+4 \ge (3x+2)\sqrt{x^2+3}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^2+3x+4)^2-(3x+2)^2(x^2+3) \ge0 \\ x \ge \frac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}15x^3+2x^2+30x+2 \ge0 \\ x \ge -\frac 23 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(15x+1)(x^2+2) \ge0 \\ x \ge -\frac 23\end{cases}\Leftrightarrow x \ge -\frac 1{15}$

$bpt\Leftrightarrow 3x^2+3x+4 \ge (3x+2)\sqrt{x^2+3}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(3x^2+3x+4)^2-(3x+2)^2(x^2+3) \ge0 \\ x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^3+x^2-6x+2 \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)(3x^2+4x-2) \ge0 \\ x \ge -\dfrac 23\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ \dfrac{-\sqrt{10}-2}{3} \le x \le \dfrac{\sqrt{10}- 2}{3} \end{array} \right. \\x \ge \dfrac{-2}3 \end{cases}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ \dfrac{-2}{3} \le x \le \dfrac{-\sqrt{10}-2}{3} \end{array} \right.$

Bài cực đỉnh nè mọi người!!! Ai cao thủ giải giúp tớ vs

Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn: 0 < $(x+y)^2$ + $(y+z)^2$ + $(z+x)^2$ $\leq $ 2Tìm GTLN của biểu thức: P= $4^{x}$ + $4^{y}$ + $4^{z}$ + ln($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) - $\frac{3}{4}$$(x+y+z)^4$

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài cực đỉnh nè mọi người!!! Ai cao thủ giải giúp tớ vs

Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn: $0 < (x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 \leq 2$Tìm GTLN của biểu thức: $P= 4^{x} + 4^{y} + 4^{z} +\ln(x^4+y^4+z^4)-\frac 34(x+y+z)^4$

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất