Ai giải hộ tui với, tui cần gấp á :P

\int\limits_{1}^{0}x^{5}.(1-x^{3})^6dx

Tích phân

Ai giải hộ tui với, tui cần gấp á :P

$\int\limits_{1}^{0}x^{5}.(1-x^{3})^6\mathrm dx$

Tích phân

Ta có $\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)^{10}=\sum_{k=1}^{10}C_{10}^k(x^2)^k.(\frac 1{x^3})^{10-k}$$=\sum_{k=1}^{10}C_{10}^kx^{2k}.x^{3k-10}=\sum_{k=1}^{10}C_{10}^k.x^{5k-10}$Số hạng tương ứng $5k-10=0\Leftrightarrow k=2$ Hệ số tương tứng là $C_{10}^2=45$

Ta có $\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)^{10}=\sum_{k=1}^{10}C_{10}^k(x^2)^k.(\frac 1{x^3})^{10-k}$$=\sum_{k=1}^{10}C_{10}^kx^{2k}.x^{3(k-10)}=\sum_{k=1}^{10}C_{10}^k.x^{5k-30}$Số hạng tương ứng $5k-30=0\Leftrightarrow k=6$ Hệ số tương tứng là $C_{10}^6=210$

Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge ...\ge a_n$Xét 2 trường hợp Nếu $a_2 \ge 1$ thì ta có $(a_2 -1)(a_2-2) \le0 \Leftrightarrow a_2^2 +2 \le 3a_2$Tương tự ta cũng có $a_1^2+2 \le 3a_1$Lại có $\sum_{k=3}^na_k=3-a_1-a_2 \le 3-1-1=1$Suy ra $0 \le a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_4 \le a_3 \le 1$Suy ra $\sum_{k=3}^na_n^2 \le \sum_{k=3}^na_n$Suy ra $\sum_{k=1}^na_n^2+4 \le \sum_{k=1}^na_n+2(a_1+a_2) \le 3+2.3=9$Suy ra dpcmNếu $a_2 \le 1$ thì tương tự ta cũng có $\sum_{k=2}^na_n^2 \le \sum_{k=2}^na_n $Mà $a_1(a_1-2) \le 0\Leftrightarrow a_1^2 \le 2a_1$Kết hợp 2 điều trên ta có $\sum_{k=1}^na_n^2 \le \sum_{k=1}^na_n+a_1 \le 3+2=5 $(dpcm)Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.

Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge ...\ge a_n$Xét 2 trường hợp Nếu $a_2 \ge 1$ thì ta có $(a_2 -1)(a_2-2) \le0 \Leftrightarrow a_2^2 +2 \le 3a_2$Tương tự ta cũng có $a_1^2+2 \le 3a_1$Lại có $\sum_{k=3}^na_k=3-a_1-a_2 \le 3-1-1=1$Suy ra $0 \le a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_4 \le a_3 \le 1$Suy ra $\sum_{k=3}^na_k^2 \le \sum_{k=3}^na_k$Suy ra $\sum_{k=1}^na_k^2+4 \le \sum_{k=1}^na_k+2(a_1+a_2) \le 3+2.3=9$Suy ra dpcmNếu $a_2 \le 1$ thì tương tự ta cũng có $\sum_{k=2}^na_k^2 \le \sum_{k=2}^ka_k $Mà $a_1(a_1-2) \le 0\Leftrightarrow a_1^2 \le 2a_1$Kết hợp 2 điều trên ta có $\sum_{k=1}^na_k^2 \le \sum_{k=1}^na_k+a_1 \le 3+2=5 $(dpcm)Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.

$gt\Leftrightarrow ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) = a^3+b^3+c^3-3abc \le a^3+b^3+c^3$$\Rightarrow P \ge 1$$\min P=1$ chẳng hạn khi $a=b=1,c=0$

$gt\Leftrightarrow 4ab =(a+b-c)^2 \ge0$ thiết lập tt $\Rightarrow abc \ge 0$$gt\Leftrightarrow ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) = a^3+b^3+c^3-3abc \le a^3+b^3+c^3$$\Rightarrow P \ge 1$$\min P=1$ khi $a=b,c=0$

giúp với

giải phương trình sau: sin4x + 2 sin^3x = sinx + căn 3 cosx*cos2x

Phương trình lượng giác cơ bản

giúp với

giải phương trình sau: $\sin4x + 2 \sin^3x = \sin x + \sqrt 3 \cos x \cos2x$

Phương trình lượng giác cơ bản

Giúp dùm nhé

\begin{cases}x^{2}+2x-2=\sqrt{-y^{2}-4y-2} \\ 6x-y-11+\sqrt{10-4x-2x^{2}}=0 \end{cases}\begin{cases}xy(1+\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{4+y}-\sqrt{y})=8 \\ -3x^{4}y+2x^{2}y+26x=2\sqrt[3]{x^{3}-14} \end{cases}

Hệ phương trình

Giúp dùm nhé

$\begin{cases}x^{2}+2x-2=\sqrt{-y^{2}-4y-2} \\ 6x-y-11+\sqrt{10-4x-2x^{2}}=0 \end{cases}$$\begin{cases}xy(1+\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{4+y}-\sqrt{y})=8 \\ -3x^{4}y+2x^{2}y+26x=2\sqrt[3]{x^{3}-14} \end{cases}$

Hệ phương trình

help

tìm các giá trị m để pt: $m^{2}tanx = tanx + m + 1$ có nghiệm trong khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$

Phương trình lượng giác...

help

tìm các giá trị m để pt: $m^{2}\tan x = \tan x + m + 1$ có nghiệm trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

Phương trình lượng giác...

mọi người giúp em với ạ

$(sinx + cosx)^{2} + 2\sqrt{3}cos^{2}x = 1 + 2cosx$

Phương trình lượng giác cơ bản

mọi người giúp em với ạ

$(\sin x + \cos x)^{2} + 2\sqrt{3}\cos^{2}x = 1 + 2\cos x$

Phương trình lượng giác cơ bản

Nhìn đơn giản mà sao khó quá :v

\sqrt[3]{x^{2}-1} + x = \sqrt{x^{3}-1}

Phương trình chứa căn

Nhìn đơn giản mà sao khó quá :v

$\sqrt[3]{x^{2}-1} + x = \sqrt{x^{3}-1}$

Phương trình chứa căn

$pt\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+\sin x-\cos x=\frac 12\Leftrightarrow 4\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x-1=0$$\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos x+1)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-\frac 12\\ \sin x=\frac 12 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{-2\pi}{3}+k2\pi \;(1)\\ x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi (2) \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi (3)\\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi (4)\end{array} \right.$Do $\widehat{A} , \widehat{B} , \widehat{C}$ là nghiệm của pt trên nên ta chỉ lấy $k$ sao cho $0<\widehat{A}, \widehat{B} , \widehat{C}< \pi$Ở $(1)$ ko có giá trị $k$ thỏa mãn, các trường hợp còn lại chỉ có thể $k=0$Do $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}=\pi$ và $\widehat{A} , \widehat{B} , \widehat{C}$ chỉ nhận các giá trị $\frac{2\pi}{3};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$Nên dễ thấy $\widehat{A}, \widehat{B} ,\widehat{C}$ là hoán vị của bộ số $\left( \frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right)$

$pt\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+\sin x-\cos x=\frac 12\Leftrightarrow 4\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x-1=0$$\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos x+1)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-\frac 12\\ \sin x=\frac 12 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{-2\pi}{3}+k2\pi \;(1)\\ x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi (2) \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi (3)\\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi (4)\end{array} \right.$Do $\widehat{A} , \widehat{B} , \widehat{C}$ là nghiệm của pt trên nên ta chỉ lấy $k$ sao cho $0<x< \pi$Ở $(1)$ ko có giá trị $k$ thỏa mãn, các trường hợp còn lại chỉ có thể $k=0$Do $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}=\pi$ và $\widehat{A} , \widehat{B} , \widehat{C}$ chỉ nhận các giá trị $\frac{2\pi}{3};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$Nên dễ thấy $\widehat{A}, \widehat{B} ,\widehat{C}$ là hoán vị của bộ số $\left( \frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right)$

$pt(1)\Leftrightarrow x^4-y^4=2x-y\Leftrightarrow x^2-y^2=\frac{2x-y}{x^2+y^2}\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2=\left(\frac{2x-y}{x^2+y^2}\right)^2$Thay vào $pt(2): \left(\frac{2x-y}{x^2+y^2}\right)^2(x^2-y^2)=3$$\Leftrightarrow (2x-y)^2(x^2-y^2)=3(x^2+y^2)^2$$\Leftrightarrow x^4-4x^3y-9x^2y^2+4xy^3-4y^4=0 \;(*)$ Với $y=0$ thì $x=0$ không thỏa mãn là nghiệm của hptVới $y \ne0 \;(*)\Leftrightarrow \left( \frac xy \right)^4-4\left( \frac xy \right)^3-9\left( \frac xy \right)^2+4\left( \frac xy \right)-4=0$Đặt $t=\frac xy$Suy ra $t^4-4t^3-9t^2+4t-4=0\Leftrightarrow (t+2)(t^3-6t^2+3t-2)=0$Ta thu được $t=-2$ và $t^3-6t^2+3t-2=0$Với $t=-2$, ta được $x+2y=0$ từ đó ta được 1 nghiệm là $\left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}};\frac{-1}{\sqrt[3]{3}} \right)$Với $t^3-6t^2+3t-2=0$$\Leftrightarrow (t-2)^3-9(t-2)-12=0$Từ đây đặt $t-2=a+\frac 3a$Suy ra $\left(a+ \frac 3a\right)^3-9\left(a+\frac 3a \right)-12=0$$\Leftrightarrow a^3-12+\frac {27}{a^3}=0$$\Leftrightarrow a^6-12a^3+27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a^3=9\\ a^3=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=\sqrt[3]9\\ a=\sqrt[3]3 \end{array} \right.$Cả 2 giá trị này đều cho ta $t=2+\sqrt[3]3+\sqrt[3]9$$\Leftrightarrow x=\left(2+\sqrt[3]3+\sqrt[3]9 \right)y$Kết hợp với phương trình thứ 2 của hệ là $x^2-y^2=\sqrt[3]3$. Ta thu được nghiệm thứ 2Kết luận $S=\left\{ \left( \frac{2}{\sqrt[3]3};\frac{-1}{\sqrt[3]3}\right);\left( \frac{\sqrt[3]3+1}{2};\frac{\sqrt[3]3+1}{2}-1 \right)\right\}$

$pt(1)\Leftrightarrow x^4-y^4=2x-y\Leftrightarrow x^2-y^2=\frac{2x-y}{x^2+y^2}\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2=\left(\frac{2x-y}{x^2+y^2}\right)^2$Thay vào $pt(2): \left(\frac{2x-y}{x^2+y^2}\right)^2(x^2-y^2)=3$$\Leftrightarrow (2x-y)^2(x^2-y^2)=3(x^2+y^2)^2$$\Leftrightarrow x^4-4x^3y-9x^2y^2+4xy^3-4y^4=0 \;(*)$ Với $y=0$ thì $x=0$ không thỏa mãn là nghiệm của hptVới $y \ne0 \;(*)\Leftrightarrow \left( \frac xy \right)^4-4\left( \frac xy \right)^3-9\left( \frac xy \right)^2+4\left( \frac xy \right)-4=0$Đặt $t=\frac xy$Suy ra $t^4-4t^3-9t^2+4t-4=0\Leftrightarrow (t+2)(t^3-6t^2+3t-2)=0$Ta thu được $t=-2$ và $t^3-6t^2+3t-2=0$Với $t=-2$, ta được $x+2y=0$ từ đó ta được 1 nghiệm là $\left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}};\frac{-1}{\sqrt[3]{3}} \right)$Với $t^3-6t^2+3t-2=0$$\Leftrightarrow (t-2)^3-9(t-2)-12=0$Từ đây đặt $t-2=a+\frac 3a$Suy ra $\left(a+ \frac 3a\right)^3-9\left(a+\frac 3a \right)-12=0$$\Leftrightarrow a^3-12+\frac {27}{a^3}=0$$\Leftrightarrow a^6-12a^3+27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a^3=9\\ a^3=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=\sqrt[3]9\\ a=\sqrt[3]3 \end{array} \right.$Cả 2 giá trị này đều cho ta $t=2+\sqrt[3]3+\sqrt[3]9$$\Leftrightarrow x=\left(2+\sqrt[3]3+\sqrt[3]9 \right)y$Kết hợp với phương trình thứ 2 của hệ là $x^2-y^2=\sqrt[3]3$. Ta thu được nghiệm thứ 2Kết luận $S=\left\{ \left( \frac{2}{\sqrt[3]3};\frac{-1}{\sqrt[3]3}\right);\left( \frac{\sqrt[3]3+1}{2};\frac{\sqrt[3]3-1}{2} \right)\right\}$

$y=f(x)=2\sin^2x+2\sin 2x+\sqrt 5$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline \sin 2x &-1& \qquad \dfrac{-1}{2} & \qquad1 \\ \hline & \sqrt 5& \qquad& \qquad 4+\sqrt 5 \\ f(x)& \qquad \searrow & & \nearrow \\ & &\qquad \dfrac{-1+2\sqrt 5}{2} \\ \hline \end{array} $ $\Rightarrow \min f(x)=\frac{-1+2\sqrt 5}{2}\Leftrightarrow \sin 2x=-\frac 12\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi-\dfrac{\pi}{12}\\ x=k\pi+\frac{7}{12} \end{array} \right.$$\max f(x)=4+\sqrt 5\Leftrightarrow \sin 2x=1\Leftrightarrow x=k\pi+\frac{\pi}4$

$y=f(x)=2\sin^22x+2\sin 2x+\sqrt 5$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline \sin 2x &-1& \qquad \dfrac{-1}{2} & \qquad1 \\ \hline & \sqrt 5& \qquad& \qquad 4+\sqrt 5 \\ f(x)& \qquad \searrow & & \nearrow \\ & &\qquad \dfrac{-1+2\sqrt 5}{2} \\ \hline \end{array} $ $\Rightarrow \min f(x)=\frac{-1+2\sqrt 5}{2}\Leftrightarrow \sin 2x=-\frac 12\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi-\dfrac{\pi}{12}\\ x=k\pi+\frac{7}{12} \end{array} \right.$$\max f(x)=4+\sqrt 5\Leftrightarrow \sin 2x=1\Leftrightarrow x=k\pi+\frac{\pi}4$

phương trình bậc cao

a)x^4+13x=x^3+7x^2+6b)2x^4-5x^3+x^2-5x+2=0

Hệ phương trình đối xứng

phương trình bậc cao

a)$x^4+13x=x^3+7x^2+6$b)$2x^4-5x^3+x^2-5x+2=0$

Phương trình vô tỉ

$pt\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-2)(x+1+\sqrt{x+2})(x+2+x\sqrt{x+2})=0$Hai ngoặc đầu giải dễ dàng và cho 2 nghiệm $x_1=2,x_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}$$x+1+x\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\frac{-(x+1)}x$$\Leftrightarrow \begin{cases}-1 \le x<0\\ x^3 +x^2=2x+1 =0 \;(1)\end{cases} $$(1)\Leftrightarrow \left(x+\frac 13 \right)^3-\frac 73\left(x+\frac 13 \right)-\frac 7{27}=0$$x+\frac 13 \longrightarrow \frac{2\sqrt 7 \cos \alpha }{3},\alpha \in [0,\pi]$$\Rightarrow \frac{56\sqrt 7}{27} \cos^3 \alpha-\frac{14\sqrt 7}{9} \cos \alpha=\frac 7{27}$ $\Leftrightarrow 4\cos^3a -\cos \alpha=\frac{\sqrt 7}{14}$$\Leftrightarrow \cos 3\alpha=\frac{\sqrt 7}{14}$$\Leftrightarrow 3 \alpha=k2\pi + \arccos \frac{\sqrt 7}{14} (2)$ hoặc $3 \alpha =k2\pi -\arccos \frac{\sqrt 7}{14} (3)$Vì $\alpha \in [0,\pi]$ nên từ $(2)$ chọn $k=0,k=1$ (loại vì đk $-1 \le x <0$)Từ $(3)$ ta chọn $k=1$ (nhận)Và ta có $x_3= \frac{2\sqrt 7 \cos \left(\dfrac{2\pi-\arccos \frac{\sqrt 7}{14}}{3} \right)-1}{3}$

$pt\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-2)(x+1+\sqrt{x+2})(x+1+x\sqrt{x+2})=0$Hai ngoặc đầu giải dễ dàng và cho 2 nghiệm $x_1=2,x_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}$$x+1+x\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\frac{-(x+1)}x$$\Leftrightarrow \begin{cases}-1 \le x<0\\ x^3 +x^2=2x+1 =0 \;(1)\end{cases} $$(1)\Leftrightarrow \left(x+\frac 13 \right)^3-\frac 73\left(x+\frac 13 \right)-\frac 7{27}=0$$x+\frac 13 \longrightarrow \frac{2\sqrt 7 \cos \alpha }{3},\alpha \in [0,\pi]$$\Rightarrow \frac{56\sqrt 7}{27} \cos^3 \alpha-\frac{14\sqrt 7}{9} \cos \alpha=\frac 7{27}$ $\Leftrightarrow 4\cos^3a -3\cos \alpha=\frac{\sqrt 7}{14}$$\Leftrightarrow \cos 3\alpha=\frac{\sqrt 7}{14}$$\Leftrightarrow 3 \alpha=k2\pi + \arccos \frac{\sqrt 7}{14} (2)$ hoặc $3 \alpha =k2\pi -\arccos \frac{\sqrt 7}{14} (3)$Vì $\alpha \in [0,\pi]$ nên từ $(2)$ chọn $k=0,k=1$ (loại vì đk $-1 \le x <0$)Từ $(3)$ ta chọn $k=1$ (nhận)Và ta có $x_3= \frac{2\sqrt 7 \cos \left(\dfrac{2\pi-\arccos \frac{\sqrt 7}{14}}{3} \right)-1}{3}$