Đặt
{p=a+b+c=1q=ab+bc+ca,q∈[0;13]r=abc,
Ta có P2=p2q2−4q3+2pr(9q−2p2)−27r2
f(r)=−27r2+2r(9q−2)+q2(1−4q)
Xem đây là tam thức bậc 2 theo r
Ta có f(r) đạt max khi r=0 hoặc r=127 hoặc r=−b2a=2−9q27
Dùng bdt AM−GM ta có với r=0 thì f(r)=q2(1−4q)≤1108
Với r=127,f(r)=q2(1−4q)+2(9q−2)27−127≤0 với q∈[0;13]
Với r=2−9q27 thì rõ ràng f(r)<f(0)
Tóm lại ta có P2≤1108⇔−√318≤P≤√318
Tới đây dễ rồi
