|
|
giải đáp
|
bất đẳng thức ....
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của: $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$
|
|
|
|
Cách 2 : Trước hết, chú ý điều kiện, nhận thấy giả thiết là hoàn toàn đối xứng với 2 biến x,y. Tiếp theo, để ý đến cái biểu thức P. Rõ ràng, P là hàm bậc nhất chia bậc nhất ..
Từ đó, mình nghĩ đến ý tưởng dùng hình học để giải quyết bài toán. Để thực hiện điều đó, điều quan trọng đầu tiên cần làm, là chuyển giả thiết về dạng quen thuộc, phương trình đường tròn. Còn cái biểu thức P kia thì đơn giản rồi, chỉ cần quy đồng chuyển vế chuyển về phương trình đường thẳng, rồi áp dụng công thức khoảng cách nữa là ok
Tuy nhiên, muốn chuyển P về dạng phương trình đường tròn, trước tiên cần phải loại bỏ ngay cái tích xy có trong giả thiết đã. Mà giả thiết là đối xứng cho nên việc này sẽ rất đơn giản thôi
Lời giải:Đặt:{x+y=2ax−y=2b⇒⎧⎩⎨⎪⎪a>0x=a+by=a−b
Khi đó, giả thiết trở thành: (a+b)2+(a+b)(a−b)+(a−b)2+2=6a⇔3a2+b2+2=6a. Và: P=5a+b+12a+6
Do:3a2+b2+2=6a⇒b2=−3a2+6a−2=1−3(a−1)2⇔|b|=1−3(a−1)2−−−−−−−−−−−√
Từ đây suy ra:P=5a+b+12a+6≤5a+|b|+12a+6=5a+1+1−3(a−1)2−−−−−−−−−−−√2a+6 Đặt: a−1=t thì t∈[−13√;13√]. Biểu thức P viêt lại dưới dạng:P=5(t+1)+1+1−3t2−−−−−−√2(t+1)+6=5t+6+1−3t2−−−−−−√2t+8
Đến đây thì đơn giản rồi, xét hàm đảm bảo ra ngay. Nhưng mà nhìn cái biểu thức thấy nản quá, đạo hàm ra chắc cũng mệt. Và casio lên tiếng, sau một hồi ngồi bấm máy dò kết quả mình tìm được Max khi t=12. Và việc còn lại là kiểm chứng điều đó bằng thực nghiệm
Ta sẽ CM cho GTLN của P bằng 1 với t∈[−13√;13√].Thật vậy, ta có:5t+6+1−3t2−−−−−−√2t+8≤1⇔2−3t≥1−3t2−−−−−−√⇔(2−3t)2≥1−3t2⇔3(2t−1)2≥0
BĐT trên luôn đúng. Vậy ta tìm được GTLN của P bằng 1. Đẳng thức xảy ra khi x=2;y=1.
|
|
|
|
giải đáp
|
Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của: $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$
|
|
|
|
Ta thấy giả thiết đã cho tương đương vớix2+y2+xy+2−3(x+y)=0⇔(x+y2−32)2+(3√2y−3√2)2=1 Đến đây dễ dàng nhận ra bóng dáng của lượng giác. Ta đặt x+y2−32=sint,3√2y−3√2=cost⇒x=sint+1−cost3√,y=1+2cost3√ Thay vào P ta sẽ cóP=3sint+cost3√+6sint+cost3√+8 ⇔(P−3)sint+(P3√−13√)cost=6−8P Để phương trình này có nghiệm thì(P−3)2+(P3√−13√)2≥(6−8P)2 ⇔2047≤P≤1 Ta có P=1⇔3sint+cost3√+6=sint+cost3√+8⇔sint=1⇒cost=0⇒x=2,y=1P=2047⇔47(3sint+cost3√+6)=20(sint+cost3√+8)⇔121sint+273√cost+122=0 Phương trình này chắc chắn có nghiệm do1212+(273√)2=1222 Vậy GTLN của P là 1. GTNN của P là 2047.
|
|
|
|
giải đáp
|
Hình học không gian
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ phương trình: Level 6
|
|
|
|
Ta có : $30\frac{y}{x^{2}}+4y=2007\Leftrightarrow y\left ( \frac{30}{x^{2}}+4 \right )=2007\rightarrow y>0$
Tương tự CM đc : $x>0,z>0$
Giả sử : $x>y>0(1)\rightarrow x\left ( \frac{30}{z^{2}}+4 \right )=y\left ( \frac{30}{x^{2}}+4 \right )\Rightarrow \frac{30}{z^{2}}<\frac{30}{x^{2}}\Rightarrow z>x (2)$
Tg tự : $y>z (3)$
Vì : $(1),(2) và (3)$ mâu thuẫn vs nhau nên $\Rightarrow x=y=z$
$\Rightarrow \frac{30}{x}+4x=2007\Leftrightarrow 4x^{2}-2007x+30=0 $
$\Leftrightarrow \left[ { x=\frac{60}{2007+\sqrt{4027569}}}\\ x=\frac{2007+\sqrt{4027569}}{8} \right]$
Vậy : $...$
|
|
|
|
giải đáp
|
Cmr: $\color{red}{\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\le \frac{\sum x^2}{\sum xy}}$
|
|
|
|
Cách 2 : Tư tưởng chung là dùng BĐT Cauchy−schwarz: (x2+yz+zx)(y2+yz+zx)≥(xy+yz+zx)2⇔xyx2+yz+zx≤xy3+xy2z+z2yz(xy+yz+zx)2 Thiết lập các BĐT tương tự, ta có: ∑xyx2+yz+zx≤∑xy3+xy2z+x2yz(xy+yz+zx)2=(xy+yz+zx)(x2+y2+z2)(xy+yz+zx)2=x2+y2+z2xy+yz+zx(đpcm).
|
|
|
|
giải đáp
|
Cmr: $\color{red}{\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\le \frac{\sum x^2}{\sum xy}}$
|
|
|
|
Áp dụng AM-GM : $\frac{\sum x^{2}}{\sum xy}\geq 1$
-> Ta CM : $\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz} \leq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy}+\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq 2$
Áp dụng C-S : $\sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy} \geq \frac{(\sum xy)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+2xyz(x+y+z)}=1$
$\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum (x^{2}+xy+yz)}=1 $
$\rightarrow (đpcm)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ phương trình: Level 3
|
|
|
|
$pt(1)+3pt(2) = x^{2}+3xy^{2}+49+3(x^{2}-8xy+y^{2}-8y+17x)=0$
$\Leftrightarrow(x^{3}+3x^{2}+3x+1)+3y^{2}(x+1)-24y(x+1)+48(x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+(x+1)(3y^{2}-27y+48)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)\left[ { (x+1)^{2}+3(y-4)^{2}} \right]=0$
$\Leftrightarrow ...$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải phương trình : $\color{red}{(x+3)\sqrt{-x^{2}-8x+48 } = x-24}$
|
|
|
|
Cách 2 :
ĐK : $x \in [-12;4]$
$pt\Leftrightarrow [(x+4)-1]\sqrt{64-(x+4)^{2}}=(x+4)-28$
Đặt : $x+4=8sint , t\in \left[ { \frac{-\pi }{2}};\frac{\pi }{2} \right]$ , ta có :
$(8sint-1)\sqrt{64-64sin^{2}t}=8sint-28$
$\Leftrightarrow 8(8sint -1)cost=8sint-28$
$\Leftrightarrow 64sint.cost+28=8sint+8cost$
$\Leftrightarrow 16sin^{2}\left ( t+\frac{\pi }{4} \right ) -2\sqrt{2}.sin \left ( t+\frac{\pi }{4} \right )-1$
$\Rightarrow t=...$ ( ok r )
|
|
|
|
giải đáp
|
Pt hè đây, mn làm tiếp hộ e :v
|
|
|
|
C1 :
Đặt : $t=\sqrt{-x^{2}-8x+48}$ $(t\geq 0)$
$pt\Leftrightarrow t^{2}+2(x+3)t+x^{2}+6x=0$
$\Leftrightarrow t=-x$ hoặc $t=-x-6$
$\Leftrightarrow ...$
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải giùm mình bài này với
|
|
|
|
ĐK : $x \in [-1;0)$ hoặc $x \in [1; + \infty)$
$pt \Leftrightarrow (x-1)-2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}+\frac{1}{x}=0$ $(1)$
Nếu : $x \in [-1;0) \rightarrow VT (1) âm \Rightarrow $ pt (1) vô nghiệm
Nếu : $x\in [1; + \infty) : (1) \Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}=0$
$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0 $
$\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
~~~~~ The End ~~~~~~
|
|