$n^{2}=a+b\rightarrow n^{4}=(a+b)^{2}.$Mà$: n^{3}=a^{2}+b^{2}$
Suy ra: $n^{4}-n^{3}=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{n^{4}-n^{3}}{2}$
Nên a,b là nghiệm của pt: $X^{2}- n^{2}.X+\frac{n^{4}-n^{3}}{2}$
Để pt có nghiệm$\Leftrightarrow \triangle \geq 0\Leftrightarrow n^{4}-4.\frac{n^{4}-n^{3}}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow 2n^{3}.(2-n)\geq 0$
Vì n nguyên dương $\Rightarrow 2-n\geq 0\Leftrightarrow n\leq 2$.Suy ra n=1 hoặc n=2.
Vậy $:n={1;2}$