|
|
giải đáp
|
Hệ pt đẳng cấp
|
|
|
|
Điều kiện : $x \ne \pm y$.
Đặt: $t=\frac{x+y}{x-y} \Rightarrow \frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{t} $.
Phương trình (1) trở thành:
$t+\frac{6}{t}=5 \Rightarrow t^2-5t+6=0 \Rightarrow t_1=3; t_2=2$.
*
Với $t_1=3 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=3
\Rightarrow x=2y $.
Đem thế vào (2) ta được: $2y^2=2 \Rightarrow y=\pm 1$
+$y_1=1 \Rightarrow x_1=2$
+$y_2=-1 \Rightarrow x_2=-2$.
* Với $t_2=2 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=2
\Rightarrow x=3y $.
Đem thế vào (2) ta được: $3y^2=2 \Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{6} }{3} $
+$y_3= -\frac{\sqrt{6} }{3} \Rightarrow x_3=-\sqrt{6} $
+$y_4= \frac{\sqrt{6} }{3} \Rightarrow x_4=\sqrt{6} $.
Hệ đã cho có $4$ nghiệm: $(-2; -1), (2;1), (-\sqrt{6};- \frac{\sqrt{6} }{3} ), (\sqrt{6}; \frac{\sqrt{6} }{3} )$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ phương trình
|
|
|
|
Cách 1: Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai.
Đặt $y=kx$ ta được hệ:
$\begin{cases}3k^2x^2-2kx^2=160 \\k^2x^2-3kx^2-2x^2=8
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2(3k^2-2k)=160
(1')\\x^2(k^2-3k-2)=8 (2') \end{cases} $
Vì $x\neq 0$, chia $(1')$ cho $(2')$ vế với vế, ta được:
$\frac{3k^2-2k}{k^2-3k-2}=20
\Rightarrow 17k^2-58k-40=0 \Rightarrow k_1=4; k_2
=-\frac{10}{17} $.
* Với $k_1=4 \Rightarrow y=4x$. Thay vào $(1)$ ta đưa về phương trình bậc hai đối với $x$:
$48x^2-8x^2=160 \Rightarrow x_1=-2; x_2=2$.
Với $x_1=-2 \Rightarrow y_1=-8; x_2=2 \Rightarrow y_2=8$.
* Với $k_2=-\frac{10}{17} \Rightarrow x_3=-8,5; x_4=8,5 $.
Với $x_3=-8,5 \Rightarrow y_3=5; x_4=8,5 \Rightarrow y_4=-5$.
Kết quả: Hệ phương trình có bốn nghiệm $(-2; -8), (2; 8), (-8,5; 5), (8,5; -5)$.
Cách 2: Từ phương trình $(1)$, rút $x$ theo $y$ ta được: $x=\frac{3y^2-160}{2y} $.
Đem thế vào phương trình $(2)$ ta được phương trình trùng phương với ẩn $y$:
$y^4-89y^2+1600=0$.
Phương trình trùng phương này có $4$ nghiệm:
$y_1=8; y_2=-8; y_3= 5; y_4=-5$.
Ta tính được các giá trị tương ứng của $x$.
$x_1=2; x_2=-2; x_3=-8,5; x_4=8,5$.
Kết quả: Hệ phương trình có bốn nghiệm $(-2; -8), (2; 8), (-8,5; 5), (8,5; -5)$. |
|
|
|
giải đáp
|
Giải và biện luận phương trình theo tham số a
|
|
|
|
a) Điều kiện $a \neq 1; x \neq -3$
Quy đồng mẫu và rút gọn , ta đưa về dạng: $(4a-9)x=31-2a$ (*)
- $a \neq \frac{9}{4} \Rightarrow $ phương trình (*) có nghiệm $x=\frac{31-2a}{4a-9} $
Để xét xem giá trị này có phải là nghiệm của phương trình đã cho hay không, ta xét thêm điều kiện
$x \neq -3$
$\frac{31-2a}{4a-9} \neq -3 \Rightarrow a \neq -\frac{2}{5}. $
- $a=\frac{9}{4} $, phương trình (*) có dạng $0.x=\frac{53}{2} \Rightarrow $ Vô nghiệm.
Kết quả: + $a \neq 1; a \neq \frac{9}{4} $ và $a \neq -\frac{2}{5} $
Phương trình có nghiệm $x=\frac{31-2a}{4a-9} $
+ $a=1$ hoặc $a=\frac{9}{4} $ hoặc $a=-\frac{2}{5} $. Phương trình vô nghiệm.
b) Làm tương tự như câu a), rút gọn và đưa về PT bậc nhất ta được :
Đáp số: $a \neq \pm b \Rightarrow x=0$
$a=\pm b \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ phương trình
|
|
|
|
a) Đặt $x+y=u; \sqrt{xy}=v $
PT $\Leftrightarrow
\begin{cases}u^2-3v^2=61 \\ u-v=7 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}(7+v)^2-3v^2=61\\u=7+v \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases} v^2-7v+6=0 \\u=7+v \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} v_1=1\\ u_1=8 \end{cases}$ và $\begin{cases}v_2=6\\ u_2=13\end{cases}$.
Từ đây dễ dàng tìm được $x$ và $y$.
Đáp số: $S=\left\{ {(4+\sqrt{15}; 4-\sqrt{15} ); (4-\sqrt{15} ; 4+\sqrt{15} ); (9;4); (4;9)} \right\}$.
b)Đặt $y=tx$.
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}x^2(2-3t+t^2)=3 \\ x^2(1-2t-2t^2)=6 \end{cases}$
Nhận thấy các hạng tử bên vế trái của hai phương trình trên đều phải khác $0$.
Ta suy ra $\frac{2-3t+t^2}{1-2t-2t^2}=\frac{1}{2}$. PT này vô nghiệm tức là không có $x, y$ thỏa mãn HPT.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nghiệm nguyên
|
|
|
|
Hướng dẫn:
Ta có: $x^2=y^2+2y+3 \Leftrightarrow x^2-(y^2+2y+1)=2$
$\Leftrightarrow x^2-(y+1)^2=2 \Leftrightarrow (x+y+1)(x-y-1)=2$
Khi
$x,y$ nguyên thì $x+y+1$ nguyên và $x-y-1$ nguyên; do vậy
$x+y+1$ và $x-y-1$ phải nhận các giá trị là ước của $2$. Ta có tất
cả $4$ hệ:
$\begin{cases}x+y+1=1 \\x- y-1= 2\end{cases} ;
\begin{cases}x+y+1=2 \\ x-y-1=1 \end{cases} ; \begin{cases}x+y+1=-1
\\ x-y-1=-2 \end{cases} ; \begin{cases}x+y+1=-2 \\ x-y-1=-1
\end{cases} $
Giải bốn hệ này kết hợp điều kiện $x, y$ là các số nguyên ta được kết quả, PT đã cho vô nghiệm.
|
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình có nghiệm nguyên
|
|
|
|
Phân tích vế trái thành nhân tử, ta được: $(2x+3y-z)(x-2y-z)=10$ (*) Với $x,y$ nguyên, dương thì $2x+3y-z$ và $x-2y-z$ nhận các giá trị là các số nguyên là ước của $10$.
Ta lại nhận thấy $(2x+3y-z)-(x-2y-z)=x+5y$.
với $x\ge1, y\ge 1 \Rightarrow x+5y \geq6.$
Với các điều kiện này thì (*) tương đương với các hệ:
$\left[ \begin{array}{l}
\begin{cases}2x+3y-z=10 \\x-2 y-z=1 \end{cases} (1)\\
\begin{cases}2x+3y-z=-1 \\ x-2y-z=-10 \end{cases} (2)
\end{array} \right. $
Giải hệ $(1)$.
Ta có $x+5y=(2x+3y-z)-(x-2y-z)=9$.
Nếu $y \ge 2 \Rightarrow x+5y > 9$. Như vậy $y=1$ và $x=4$.
Ta được bộ $(x; y; z) = (4; 1; 2)$.
Tương tự giải hệ $(2)$ ta được $(x; y; z) = (4; 1; 12)$.
Đáp số: $(4;1;2)$ và $(4; 1; 12)$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
Dãy số
|
|
|
|
a) $u_1=\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
$u_2=\sin\frac{2\pi}{6}+\cos\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$u_4=\sin\frac{4\pi}{6}+\cos\frac{4\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$u_5=\sin\frac{5\pi}{6}+\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
b) $u_{n+12}=\sin(n+12)\frac{\pi}{6}+\cos(n+12)\frac{\pi}{3}=\sin(n\frac{\pi}{6}+2\pi )+\cos(\frac{n\pi}{3}+4\pi ) $
$=\sin \frac{n\pi}{6}+\cos \frac{n\pi}{3}=u_n $
$u_{n+24}=\sin(n+24)\frac{\pi}{6}+\cos(n+24)\frac{\pi}{3}=\sin(\frac{n\pi}{6} +4\pi)+ \cos(\frac{n\pi}{3}+8\pi ) $
$=\sin \frac{n\pi}{6}+\cos \frac{n\pi}{3} $
|
|
|
|
giải đáp
|
Biện luận phương trình
|
|
|
|
Trong bài này ta cần phân biệt hai thuật ngữ. Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ PT có nghiệm duy nhất nếu nó là PT bậc nhất (khi $a=0$) có duy nhất một nghiệm. PT có nghiệm kép nếu nó là PT bậc hai (khi $a \ne 0$) có $\Delta = 0$. a) $m=-2$. PT $\Leftrightarrow 6x+4=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}$. b) - Với $m=0$, phương trình trở thành $2x^2+2x+4=0 \Rightarrow x^2+x+2=0$ $\Delta =1-8<0 \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
Vậy với $m=0 \Rightarrow S=\emptyset $ . - Với $m=9$ phương trình trở thành: $11x^2-16x+4=0$ $\Delta =64-44=20 \Rightarrow x_1=\frac{8+2 \sqrt{5} }{11}; x_2=\frac{8-2 \sqrt{5} }{11} $. - Với $m=-3$ phương trình trở thành: $x^2-8x-4=0$ $\Delta'=16+4=20 \Rightarrow x_1=4+2 \sqrt{5}; x_2=4- 2 \sqrt{5} $. c) Ta có: $\Delta'=m^2-6m-7$. Phương trình có nghiệm kép: $\Delta' =0 \Rightarrow m^2-6m-7=0$ $\Rightarrow m_1=-1; m_2=7$. Vậy với $m=-1$ hoặc $m=7$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép. |
|
|
|
giải đáp
|
Biện luận phương trình
|
|
|
|
Điều kiện xác định của phương trình là: $x\neq 2$.
Thực hiện các phép biến đổi và rút gọn, ta được phương trình:
$(m-5)x = -15 (*)$ a) Nếu $m-5\neq 0 \Leftrightarrow m\neq 5$ thì phương trình (*) có nghiệm là $x=\frac{-15}{m-5} $. Để giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho , ta phải loại các
giá trị $m$ mà tại đó $x$ nhận giá trị $2$, theo điều kiện xác định,
tức là: $\frac{-15}{m-5}\neq 2 \Leftrightarrow m\neq 5$ và $m \neq -\frac{5}{2} $.
Vậy với $m \neq 5$ và $m \neq -\frac{5}{2} $ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=\frac{-15}{m-5} $
b) - Với $m=5$. Phương trình (*) trở thành: $0.x=-15 \Leftrightarrow $ vô nghiệm $\Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
- Với $m=-\frac{5}{2} $ cho ta nghiệm $x=2$, đây là điều vô lý.
Kết luận : - Với $m \neq 5$ và $m \neq -\frac{5}{2} $
Phương trình có nghiệm duy nhất : $S=\left\{ {\frac{-15}{m-5}} \right\}$
- Với $m = 5$ hoặc $m=-\frac{5}{2}$
Phương trình vô nghiệm: S = $\emptyset $.
|
|
|
|
giải đáp
|
Biện luận phương trình
|
|
|
|
Ta có:
$m \neq 0$ và $m \neq 4 \Rightarrow x=\frac{n^2-mn-5}{m(m-4)} $.
$m=0
\Rightarrow \begin{cases}n \neq \pm \sqrt 5 \Rightarrow
S = \emptyset \\ n=\pm\sqrt 5 \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases}
$;
$m=4 \Rightarrow 0.x = n^2-4n-5=(n+1)(n-5)$
$\Rightarrow \begin{cases}n\neq -1; n \neq 5
\Rightarrow S=\emptyset \\ n=-1 \text { hoặc } n=5
\Rightarrow S=\mathbb{R}\end{cases}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Hệ phương trình chứa tham số
|
|
|
|
a) Ta có: $a \neq \pm1 \Rightarrow x=-\frac{a}{a+1}, y=\frac{a^2+a+1}{a+1}$.
$a=1 \Rightarrow \begin{cases}x\in \mathbb{R} \\ y=1-x \end{cases} $ Hệ vô số nghiệm.
$a=-1$. Hệ vô nghiệm.
b) Cộng theo từng vế hai PT ta được $x(a+b)=a+b$.
Nếu
$a=-b$. PT trên $\Leftrightarrow 0.x=0$. PT này nghiệm đúng $\forall x
\in \mathbb{R} $. HPT đã cho có vô số nghiệm $\begin{cases}x \in
\mathbb{R} \\ y=-b(x+1) \end{cases}$
Nếu $a \ne -b$. HPT có nghiệm $\begin{cases}x=1 \\ y=a-b \end{cases}$
c) Từ PT thứ hai thay $x = y+a-b$ vào PT thứ nhất ta được PT $b(a-b)=y(a-b)$.
Làm tương tự như câu b) ta được
Nếu $a=b$. HPT đã cho có vô số nghiệm $\begin{cases}x \in
\mathbb{R} \\ y=x \end{cases}$
Nếu $a \ne b$. HPT có nghiệm $\begin{cases}x=a \\ y=b \end{cases}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ phương trình
|
|
|
|
Điều kiện : $x \ne \pm y$.
Đặt: $t=\frac{x+y}{x-y} \Rightarrow \frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{t} $.
Phương trình (1) trở thành:
$t+\frac{6}{t}=5 \Rightarrow t^2-5t+6=0 \Rightarrow t_1=3; t_2=2$.
*
Với $t_1=3 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=3
\Rightarrow x=2y $.
Đem thế vào (2) ta được: $2y^2=2 \Rightarrow y=\pm 1$
+$y_1=1 \Rightarrow x_1=2$
+$y_2=-1 \Rightarrow x_2=-2$.
* Với $t_2=2 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=2
\Rightarrow x=3y $.
Đem thế vào (2) ta được: $3y^2=2 \Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{6} }{3} $
+$y_3= -\frac{\sqrt{6} }{3} \Rightarrow x_3=-\sqrt{6} $
+$y_4= \frac{\sqrt{6} }{3} \Rightarrow x_4=\sqrt{6} $.
Hệ đã cho có $4$ nghiệm: $(-2; -1), (2;1), (-\sqrt{6};- \frac{\sqrt{6} }{3} ), (\sqrt{6}; \frac{\sqrt{6} }{3} )$
|
|
|
|
giải đáp
|
Biện luận hệ pt
|
|
|
|
Ta có: $D=m^2-2m=m(m-2)$ $D_x=m-2(m-1)=-(m-2)$ $D_y=m^2-2m=m(m-2)$ a) Nếu $m \neq 0$ và $m \neq 2 \Rightarrow D \neq 0$ Hệ có nghiệm duy nhất $x=\frac{D_x}{D}=\frac{-(m-2)}{m(m-2)}=-\frac{1}{m} ; y=\frac{D_y}{D}=\frac{m(m-2)}{m(m-2)}=1 $
b)
+ Nếu $m=0 \Rightarrow $ hệ có dạng: $\begin{cases}0x+2y=1 \\
0x+0y=-1 \end{cases} \Rightarrow $ hệ vô nghiệm. + Với $m=2 \Rightarrow $ hệ có dạng: $\begin{cases}2x+2y=1 \\ 2x+2y=1 \end{cases} $. Nghiệm của hệ là : $\begin{cases}x\in \mathbb{R} \\ y=\frac{1-2x}{2} \end{cases} $ Hệ vô số nghiệm. |
|
|
|
giải đáp
|
Giải bài này như thế nào?
|
|
|
|
a) Tam thức triệt tiêu với $ x= \frac{1}{3}$ và $x= -\frac{2}{7}$ tức là PT $f(x)=0$ nhận hai giá trị đó làm nghiêm.
Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}-\frac{b}{a}=
\frac{1}{3}-\frac{2}{7}=\frac{1}{21}\\ \frac{c}{a}=
-\frac{1}{3}.\frac{2}{7}=-\frac{2}{21} \end{cases} \Leftrightarrow
\frac{a}{21}=\frac{b}{-1}=\frac{c}{-2}$
Vậy khi $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện trên thì bài toán được giải.
b) Thực chất bài toán là đi giải hệ phương trình sau
$\begin{cases}a.1+b.1+c=3
\\ a.\frac{1}{9}-b.\frac{1}{3}+c=3 \\c=4 \end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}a=-3\\b=2\\ c=4 \end{cases}$
|
|