|
|
Đặt $u = \cos \left( {\ln x} \right) \Rightarrow du = - \frac{{\sin \left( {\ln x} \right)dx}}{x}$
$dv = dx \Rightarrow v = x$
Suy ra : $I = x\cos \left( {\ln x} \right)\left| {_1^{{e^\pi }}} \right. + \int_1^{{e^\pi }} {\sin
\left( {\ln x} \right)dx} = - {e^\pi } - 1 + K$ với
$K = \int_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x}
\right)dx} $
Tương tự: để tính $K$ ta đặt: $u = \sin \left( {\ln x} \right) \Rightarrow du = \frac{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} x\left( {\ln x} \right)dx}}{x}$
$dv = dx \Rightarrow v = x$
Suy ra :$K = x\sin \left( {\ln x} \right)\left| {_1^{{e^\pi }}} \right. - I = 0 - I = - I$
Từ đó: $I = - {e^\pi } - 1 - I \Rightarrow I = - \frac{1}{2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)$
|