BPT lôgarit

Question

Giải các bất phương trình :

$\begin{array}{l} 1)\log _\frac{1}{2}\left( {4 - x} \right) \ge \log _\frac{1}{2}2 -\log _\frac{1}{2}\left( x - 1 \right)\\ 2) 2 - \log _2\left( x^2 + 3x \right) \ge 0 \end{array}$

score 3 · Answer 1

$1)\,\,\,$
Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} 4-x>0\\ x-1>0 \end{array} \right.\Rightarrow 1<x<4.$
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành

$\log_\frac{1}{2}(4-x)\geq \log_\frac{1}{2}\frac{2}{x-1}$

$\left\{ \begin{array}{l} 4 - x > 0\\ x - 1 > 0\\ \left( {4 - x} \right)\left( {x - 1} \right) \le 2 \end{array} \right.\,\,\,\,\, \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1<x<4\\x^2-5x+6\geq 0 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1<x<4\\\left[\begin{array}{l} x\geq 3\\ x\leq 2\end{array} \right.\end{array}\right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x \le 2\\ 3 \le x < 4 \end{array} \right.$
Vậy BPT đã cho có nghiệm

$\left[ \begin{array}{l} 1 < x \le 2\\ 3 \le x < 4 \end{array} \right.$ .

$2)\,\,\,$
Điều kiện:

$x^2+3x>0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x>0\\x<-3 \end{array} \right.$
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành

$\log_24\geq \log_2(x^2+3x)$

$\Leftrightarrow 4\geq x^2+3x$

$\Leftrightarrow x^2+3x-4\leq 0$

$\Leftrightarrow (x+4)(x-1)\leq 0\Leftrightarrow -4\leq x\leq 1$
Kết hợp với điều kiện vậy BPT đã cho có nghiệm

$\left[ \begin{array}{l} - 4 \le x< - 3\\ 0 < x \le 1 \end{array} \right.$

Giải rát chi tiết mình cám ơn bạn nhé.Vote cho bạn

score 4 · Answer 2

1, Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} 4-x>0\\ x-1>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 1<x<4$
Bất phương trình tương đương với:

$\log_{\frac{1}{2}}(4-x)\ge\log_{\frac{1}{2}}(2x-2)$

$\Leftrightarrow 4-x\le2x-2\Leftrightarrow x\ge2$ .
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là:

$S=[2;4)$

2, Bất phương trình tương đương với:

$\log_2(x^2+3x)\le2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2+3x>0\\x^2+3x\le4 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left [ \begin{array}{l} x>0\\ x<-3 \end{array} \right.\\ -4\le x\le 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} 0<x\le 1\\ -4\le x<-3 \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

$S=[-4;3)\cup(0;1]$