BPT lôgarit

Question

Giải các bất phương trình :

$\begin{array}{l}
1)\log _\frac{1}{2}\left( {4 - x} \right) \ge \log _\frac{1}{2}2 -\log _\frac{1}{2}\left( x - 1 \right)\\
2) 2 - \log _2\left( x^2 + 3x \right) \ge 0
\end{array}$

score 3 · Answer 1

$1)\,\,\,$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 4-x>0\\ x-1>0 \end{array} \right.\Rightarrow 1<x<4.$
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
$\log_\frac{1}{2}(4-x)\geq \log_\frac{1}{2}\frac{2}{x-1}$
$\left\{ \begin{array}{l}
4 - x > 0\\
x - 1 > 0\\
\left( {4 - x} \right)\left( {x - 1} \right) \le 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1<x<4\\x^2-5x+6\geq 0 \end{array} \right.
\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1<x<4\\\left[\begin{array}{l} x\geq 3\\ x\leq 2\end{array} \right.\end{array}\right.
\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 < x \le 2\\
3 \le x < 4
\end{array} \right.$
Vậy BPT đã cho có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
1 < x \le 2\\
3 \le x < 4
\end{array} \right. $.

$2)\,\,\,$
Điều kiện: $x^2+3x>0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x>0\\x<-3 \end{array} \right.$
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
$\log_24\geq \log_2(x^2+3x)$
$\Leftrightarrow 4\geq x^2+3x$
$\Leftrightarrow x^2+3x-4\leq 0$
$\Leftrightarrow (x+4)(x-1)\leq 0\Leftrightarrow -4\leq x\leq 1$
Kết hợp với điều kiện vậy BPT đã cho có nghiệm
$\left[ \begin{array}{l}
- 4 \le x< - 3\\
0 < x \le 1
\end{array} \right.$

Giải rát chi tiết mình cám ơn bạn nhé.Vote cho bạn

score 4 · Answer 2

1, Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 4-x>0\\ x-1>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 1<x<4$
Bất phương trình tương đương với:
$\log_{\frac{1}{2}}(4-x)\ge\log_{\frac{1}{2}}(2x-2)$
$\Leftrightarrow 4-x\le2x-2\Leftrightarrow x\ge2$.
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: $S=[2;4)$

2, Bất phương trình tương đương với:
$\log_2(x^2+3x)\le2$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2+3x>0\\x^2+3x\le4 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left [ \begin{array}{l} x>0\\ x<-3 \end{array} \right.\\ -4\le x\le 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} 0<x\le 1\\ -4\le x<-3 \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=[-4;3)\cup(0;1]$