PT lượng giác chứa phân thức

Question

Giải phương trình :

$\frac{\cos 2x}{2\tan (\frac{\pi}{4} -x).\sin^2(\frac{\pi}{4} -x)}=\sqrt{2}.\cos^2(x-\frac{\pi}{4} )$

Nếu giữ nguyên đề bài thì dùng phương pháp đại số sẽ phải giải PT bậc 24. Mình xin sửa lại đề như sau để có tính xây dựng hơn.

score 3 · Answer 1

Nhắc lại một số công thức

$\cos^2(x-\frac{\pi}{4} ) = 2(\cos x +\sin x)^2$

$\cos 2x = (\cos x +\sin x)(\cos x -\sin x)$

$\tan (\frac{\pi}{4} -x)=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=\frac{\cos x -\sin x}{\cos x +\sin x}$

$\sin^2(\frac{\pi}{4} -x)=2(\cos x -\sin x)^2$
Như vậy PT đã cho

$\displaystyle{\frac{(\cos x +\sin x)(\cos x -\sin x)}{4\frac{(\cos x -\sin x)^3}{\cos x +\sin x}}}=2\sqrt 2(\cos x +\sin x)^2$

$\Leftrightarrow (\cos x -\sin x)^2=\frac{1}{8\sqrt 2}\Leftrightarrow \sin^2(\frac{\pi}{4} -x)=\frac{1}{4\sqrt 2}$

$\Leftrightarrow \left| {\sin(\frac{\pi}{4} -x)} \right|=\frac{1}{2\sqrt[4]{2}}$
Từ đây có thể tìm ra nghiệm

$x$ .

1 Đáp án