chứng minh giúp mình

Question

Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. Chứng minh : $\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\geq \sqrt{2}$

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/3/2012 11:18:59 PM

Bạn xem cách giải này tự nhiên hơn nhé
$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}} -(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$=\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y} -3(\sqrt{x}+\sqrt{y})          (*)$
Áp dụng BĐT Cô-si ta được
$\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y} \ge 2\sqrt 2                (1)$
$\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x} \ge 2\sqrt 2                 (2)$
Mặt khác $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \le 2(x+y)=2 \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \le \sqrt 2           (3)$
Từ $(*), (1), (2), (3)$ ta có
$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}} \ge2 \sqrt 2 +2\sqrt 2 -3\sqrt 2 =\sqrt 2 $
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Trả lời 03-10-12 11:18 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Anh Tân ơi em có thắc mắc một điều anh ạ, chỗ dấu $=$ thứ hai sao anh lại biết tách như thế ạ, rồi chỗ dấu $=$ thứ ba nữa ạ, anh giải thích hộ em với anh ạ – Xusint 09-07-13 11:54 AM

Nếu thấy đúng và có ích thì xác nhận nó là chính xác dieuchinhthao nhé – Trần Nhật Tân 03-10-12 11:52 PM

score 7 · Answer 2

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Ta sẽ chứng minh: $\frac{x}{\sqrt{1-x}}\ge\frac{\sqrt2}{4}(6x-1) (*)$
Thật vậy:
*) Với $6x-1\le 0$, $(*)$ đúng.
*) Với $6x-1>0$ thì $(*)\Leftrightarrow 4x\ge\sqrt{2(1-x)}(6x-1)$
$\Leftrightarrow 16x^2\ge2(1-x)(36x^2-12x+1)$
$\Leftrightarrow 36x^2-40x^2+13x-1\ge0$
$\Leftrightarrow (2x-1)^2(9x-1)\ge0$ , đúng do $6x-1>0$.
Vậy $(*) $ được chứng minh.
Tương tự: $ \frac{y}{\sqrt{1-y}}\ge\frac{\sqrt2}{4}(6y-1) $
Từ đó: $ \frac{x}{\sqrt{1-x}}+ \frac{y}{\sqrt{1-y}} \ge\frac{\sqrt2}{4}(6(x+y)-2)=\sqrt2 $
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=\frac{1}{2}$

cái phương pháp này mình phải học mới được – nguyenvanvienst 03-10-12 11:49 PM

Đó là pp gì a Khang ơi,em muốn xem thì xem ở đâu?Hay là anh giới thiệu qua cho em học hởi với,em học kém nhưng rất thich toán – hatcattrongdoi 03-10-12 11:11 PM

Dự đoán (*) bằng pp tiếp tuyến. – khangnguyenthanh 03-10-12 11:06 PM

Đúng đấy,cách giải thì chuẩn rồi,nhưng vấn đề là làm sao nghĩ ra mới khó – hatcattrongdoi 03-10-12 10:55 PM

anh Khang ơi,lam sao để biết là phải chứng minh (*) – nguyenphuc423 03-10-12 10:51 PM

mình cũng đang cần bài này. May quá có sẵn – phidacngo 03-10-12 10:04 PM

Vote vote Vote cho bác – vientuanninhhn 03-10-12 09:58 PM