Cùng thể loại liên quan đạo hàm

Question

Chứng minh rằng :
a) $ \tan \frac{x}{2} < \frac{2x^3}{3\pi^2 } +\frac{x}{2}, \forall x \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$
b) $ \cos x \leq 1 - \frac{x^2}{\pi }, \forall x \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ) .$
c) $ \sin x - x \cos x \leq \frac{x^3}{3}, \forall x \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$
d) $ 1 + x \ln (x + \sqrt{1+x^2}) \geq \sqrt{1+x^2} , \forall x \in R$

score 9 · Answer 1

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

c.
Bổ đề: $\sin x<x,\forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ .
Xét hàm: $f(x)=\sin x-x\cos x-\frac{x^3}{3}, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
Ta có: $f'(x)=-x^2+x\sin x=x(\sin x-x)<0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
$\Rightarrow f(x)<f(0)=0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $ , đpcm.

score 9 · Answer 2

b. Bổ đề: $\sin x>\frac{2x}{\pi},\forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$.
Thật vậy:
Xét hàm: $f(x)=\frac{\sin x}{x}, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
Ta có: $f'(x)=\frac{x-\tan x}{x^2\cos x}$
Xét hàm: $g(x)=x-\tan x, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
Ta có: $g'(x)=-\cos^2x<0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
$\Rightarrow g(x)<g(0)=0,\forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
Hay $f'(x)<0 \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
$\Rightarrow f(x)>f(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi}, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , bổ đề được chứng minh.

Xét hàm: $h(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{\pi}, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
Ta có: $h'(x)=-\sin x+\frac{2x}{\pi}<0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $
$\Rightarrow h(x)>h(0)=0$, đpcm.

score 9 · Answer 3

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

a.
Bổ đề: $\cos x>1-\frac{x^2}{2},\forall x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)  $
Xét $f(x)= \tan \frac{x}{2}-\frac{2x^3}{3\pi^2 }-\frac{x}{2},x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2}\right ) $
Ta có: $ f'(x)= \frac{1}{\displaystyle 2\cos^2\frac{x}{2}}-\frac{2x^2}{\pi^2 }-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow  f'(x)<\frac{1}{\displaystyle 2\left (1-\frac{x^2}{8}\right)^2}-\frac{2x^2}{\pi^2 }-\frac{1}{2}<0,\forall x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right) $
Suy ra: $f(x)<f(0)=0,  \forall x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)$

khiếp bác này hỏi phát 4 câu. từ từ. cho a e hỏi với chứ =)) – onlyone1112 05-10-12 11:03 PM

Chắc chắn đúng,mềnh kiểm tra rồi :D – nguyenphuc423 05-10-12 09:44 PM

Gớm làm gì mà giải nhanh thế,chưa kiểm tra kỹ đâu nha – conuonglinh 05-10-12 08:42 PM

score 5 · Answer 4

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

d)

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks – khangnguyenthanh 29-10-12 08:50 AM