PT mũ

Question

a) Giải PT
$2^{x^2-x}+3^{x^2-x}=2{\cdot}5^{x^2-x}$
b) GPT nghiệm nguyên $x^x+y^y=z^z$
c) GPT nghiệm nguyên không âm $2^x+3^x-4^x=1$
d) GPT nghiệm nguyên không âm $33^x+31=2^y $
e) GPT $(1-x)+(1+x)e^{-x}=0$ và $1<x<2$
f) GPT $3^x+5^x=6x+2$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/7/2012 2:35:49 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

PT $\iff$ $x^2-x=t$ và $\left(\frac 23\right)^t+1-2\left(\frac 53\right)^t=0$
Vế trái của PT là hàm liên tục giảm nên nếu nó có nghiệm thì nghiệm này là nghiệm duy nhất.
Thấy rằng $t=0$ thỏa mãn PT trên ta được $x^2-x=0$
Vậy $\boxed{x\in\{0,1\}}$.

Trả lời 07-10-12 02:35 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 07-10-12 02:44 PM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 10/31/2012 12:51:47 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

f) http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/100996/bai-100996

Trả lời 31-10-12 12:51 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 10/31/2012 12:51:13 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

e)
$(1-x)+(1+x)e^{-x}=0\ ,\ 1<x<2\iff$ $f(x)\equiv e^x=\frac {x+1}{x-1}\equiv g(x)\ ,\ 1<x<2$ . Do $f\nearrow$
và $g\searrow$ và liên tục trên $(1,2)$ , nên PT $h(x)\equiv f(x)-g(x)=0$ có nhiều nhất $1$ nghiệm trên $(1,2)$ .
Mặt khác
$g(1+)=-\infty <0$ và $g(2)=e^2-3>0$ nên $g(x)=0$ trên $(1,2)$ có duy nhất nghiệm $\approx 1.5434$.

Trả lời 31-10-12 12:51 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 10/31/2012 12:47:22 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

d) Nếu $x>0$ thì $x$ chẵn nên vế phải có dạng $32(2k+1)$ và vô nghiệm.
Thực hiện đồng dư theo 3 suy ra $y$ chẵn.
Ta viết $33(33^{2a}-1)=64(2^{2b}-1)$
Thực hiện đồng dư theo 11 suy ra $5|b=5c$
Do đó $33(33^{2a}-1)=64(2^{10c}-1)$
$31$ là ước của vế phải do đó $5|a=5d$ và Thực hiện đồng dư theo $17$ ta được $4|c$
Suy ra $33(33^{10d}-1)=64(2^{40m}-1)$
Thực hiện đồng dư theo $5$ ta có $d$ chẵn nhưng $128|$vế phải , đây là điều vô lý.
Vậy PT có nghiệm $(0,5),(1,6)$.

Trả lời 31-10-12 12:47 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 5 · 10/31/2012 12:40:59 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

c) $x = 0$ và $x = 1$ là hai nghiệm tầm thường.
Giả sử $x > 1$.
Ta có
$0+(-1)^x-0 \equiv (-1)^x \equiv 1 \mod {4} \Rightarrow x \equiv 0\mod {2}$.
$(-1)^x+0-1^x \equiv (-1)^x -1 \equiv 1 \mod {3} \Rightarrow (-1)^x \equiv 2 \equiv -1 \mod{3} \Rightarrow x \equiv 1\mod {2}$.
Trong trường hợp này thì PT vô nghiệm.

Trả lời 31-10-12 12:40 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 6 · 10/31/2012 12:37:42 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b) Hàm $t^t$ tăng trên $\mathbb{N}$, do đó ta có $z> \max\{x,y\}$.
Giả sử $1\leq x\leq y$; nên với $y \geq 2$ suy ra $x^x + y^y \leq 2y^y \leq y^{y+1} < (y+1)^{y+1} \leq z^z$, vô lý.
Trường hợp $y=1$ kéo theo $x=1$, và $2=z^z$ vô nghiệm.

Trả lời 31-10-12 12:37 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

score 6 · Answer 7

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Phương tình tương đương với: $(\frac{2}{5})^{x^2-x}+ (\frac{3}{5})^{x^2-x} =2$
Xét hàm: $f(t)= (\frac{2}{5})^t+ (\frac{3}{5})^t,t\in\mathbb{R}$
Ta có: $f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Mà $f(0)=2$
Suy ra : $x^2-x=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1\\ x=0 \end{array} \right.$