Toán

Question

Cho a < b < c và a ,b,c cùng dấu .CMR :
$
a^{3}\times (b^{2} - c^{2}) + b^{3}\times (c^{2} - a^{2}) +c^{3}\times (a^{2} - b^{2}) \leq 0
$

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Vế trái $=a^3(b^2-c^2)-b^3(b^2-c^2+a^2-b^2)+c^3(a^2-b^2)$
$=a^3(b^2-c^2)-b^3(b^2-c^2)-b^3(a^2-b^2)+c^3(a^2-b^2)$
$=(b^2-c^2)(a^3-b^3)-(b^3-c^3)(a^2-b^2)$
$=(b-c)(a-b)\left[ {(b+c)(a^2+ab+b^2)-(a-b)(b^2+bc+c^2)} \right]$
$=(a-c)(b-c)(a-b)(ab+bc+ca)$
Do $a,b,c$ cùng dấu nên hiển nhiên $ab+bc+ca >0$, mặt khác từ $a<b<c$ thì $(a-c)(b-c)(a-b)<0$.
Vậy Vế trái $<0$ . ĐPCM.