giải giúp mình nhé. cảm ơn nhiều.

Kí hiệu PT đã cho là $(1)$.
+) Nếu $n=1$ thì $(1)$ trở thành $\sin x+\cos x=1$ có nghiệm $x=k2\pi$ và $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in Z$.
+) Nếu $n=2$ thì $(1)$ trở thành $\cos x=1$ có nghiệm $x=k2\pi$.
+) Nếu $n>2$ thì đặt $VT$ là vế trái của $(1)$. Ta có:
$VT\leq |\sin x\sin 2x…\sin nx|+|\cos x\cos 2x…\cos nx|\leq |\sin x\sin 2x|+|\cos x\cos 2x|$
$\leq \max \{ |\sin x\sin 2x+\cos x\cos 2x|,|\sin x\sin 2x-\cos x\cos 2x| \} =\max \{ |\cos x|,|\cos 3x| \} \leq 1$.
Do đó để $(1)$ có nghiệm thì $|\cos x|=1$ hoặc $|\cos 3x|=1$.
Nếu $|\cos 3x|=1$ thì $\sin 3x=0$, suy ra $\cos x\cos 2x…\cos nx=1$, suy ra $|\cos x=1|$. Vậy ta chỉ cần xét $|\cos x|=1$ hay $x=k2\pi$ hoặc $x=(2k+1)\pi$.
Dễ thấy $x=k2\pi$ là nghiệm của phương trình đã cho. Xét $x=(2k+1)\pi$:
Nhận thấy $\sin t\pi =0$ và $\cos t\pi=(-1)^t$ với mọi $t\in Z$. Do đó (1) tương đương với:
$$(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}=1 \Leftrightarrow 4\backslash n(n+1).$$
Kết luận: Nếu $n=4t$ hoặc $n=4t-1$ thì $(1)$ có nghiệm là $x=k\pi ,k\in Z$.
Nếu $n=4t+1$ hoặc $n=4t+2$ thì  $(1)$ có nghiệm là $x=k2\pi ,k\in Z$.