Phương trình lượng giác.

Question

Giải các phương trình:

$a) \sin^62x+\cos^62x=\dfrac{3}{2}\left(\sin^42x+\cos^42x\right)+\dfrac{1}{2}\left(\sin x+\cos x\right)$

$b) 3\sin4x=\left(\cos2x-1\right)\tan x$

$c) \left(1+\cos x\right)\sqrt{\tan\dfrac{x}{2}}-2+\sin x=2\cos x$

score 2 · Answer 1

a) PT đã cho tương đương với:

$2(\sin ^22x+\cos ^22x)(\sin ^42x-\sin ^22x\cos ^22x+\cos ^42x)=3(\sin ^42x+\cos ^42x)+\sin x+\cos x$ .

$\Leftrightarrow \sin ^42x+2\sin ^22x\cos ^22x+\cos ^42x+\sin x+\cos x=0.$

$\Leftrightarrow (\sin ^22x+\cos ^22x)^2+\sin x+\cos x=0.$

$\Leftrightarrow \sin x+\cos x=-1.$

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \vee x=\pi+k2\pi,k\in Z$ .

b) ĐK:

$x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ . PT đã cho tương đương với:

$6\sin 2x\cos 2x=-2\sin^2x.\frac{\sin x}{\cos x}.$

$\Rightarrow 6\sin x\cos ^2x\cos 2x+\sin ^3x=0$ .

$\Leftrightarrow \sin x(3\cos 2x+1)(2\cos 2x+1)=0$ .
Nếu

$\sin x=0$ thì

$x=k\pi,k\in Z$ .
Nếu

$3\cos 2x+1=0$ thì

$x=\pm \frac{\alpha}{2}+k\pi,k\in Z$ trong đó

$\alpha \in (0,\pi)$ thỏa mãn

$\cos \alpha =\frac{-1}{3}$ .
Nếu

$2\cos 2x+1=0$ thì

$x=\pm \frac{\pi}{3}+k\pi,k\in Z$ .

c) ĐK:

$2k\pi \leq x<(2k+1)\pi,k\in Z.$ Khi đó đặt

$\tan \frac{x}{2}=t\geq 0$ thì PT đã cho trở thành:

$\left( 1+\frac{1-t^4}{1+t^4}\right) t-2+\frac{2t^2}{1+t^4}=2.\frac{1-t^4}{1+t^4}.$

$\Leftrightarrow (t+1)(2t^3-2t^2-t+2)=0$
Với

$t\geq 0$ thì

$2t^3-2t^2-t+2=2(t-1)^2(t+1)+t>0$ nên PT trên vô nghiệm, suy ra PT đã cho vô nghiệm.

1 Đáp án