Cực trị.

Question

Cho các số thực $a,\,b \in \left[1,\,2\right]$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $$P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}$$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 11/27/2012 9:21:41 PM

Đặt
$\begin{cases}a=x+1 \\ b=y+1 \end{cases}\Rightarrow 0 \le x,y \le 1$.
Ta sẽ chứng minh $P \ge 1$ bằng cách chứng minh $a+b \ge a^2+b^2-ab$.
Thậy vậy
$\Leftrightarrow x+y+2 \ge (x+1)^2+(y+1)^2-(x+1)(y+1)$
$\Leftrightarrow 1+xy \ge x^2+y^2$
Mặt khác điều này hiển nhiên đúng do
$\begin{cases}x \ge x^2 \\ y\ge y^2\\(1-x)(1-y) \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x \ge x^2 \\ y\ge y^2\\1+xy \ge x+y \end{cases} \Rightarrow 1+xy \ge x^2+y^2$
Vậy $\min P =1 \Leftrightarrow (x,y)\in \{ (1,0),(0,1),(1,1)\}\Leftrightarrow (a,b)\in \{ (1,2),(2,1),(2,2)\}$

Trả lời 27-11-12 09:21 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 27-11-12 09:21 PM

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Ta có:
$\begin{cases} (a-1)(a-2)\leq 0\\ (b-1)(b-2)\leq 0\\ (a-2)(b-2)\geq 0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^2\leq 3a-2\\ b^2\leq 3a-2\\ 3(a+b)-ab-4\leq a+b\end{cases}\Rightarrow a^2-ab+b^2\leq a+b$
Từ đó suy ra $P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}\geq 1.$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $(a,b)\in \{ (1,2),(2,1),(2,2)\}$.

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 11/26/2012 5:44:31 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

+ Tìm max :
Ta có
$\begin{cases}a^2 \ge a \\b^2 \ge b \\a^2+b^2 \ge 2ab \end{cases}\Rightarrow 2(a^2+b^2) \ge 2ab+a+b$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2-ab) \ge a+b \Rightarrow 2(a+b)^3 \ge (a+b)^2 \Rightarrow P \le 2.$
Vậy $\max P = 2\Leftrightarrow a=b=1.$

Trả lời 26-11-12 05:44 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

thif like – duachua.no1 26-11-12 10:26 PM

like nha – yeuhoahocneu 26-11-12 10:19 PM

thanks nha – gaara.sshn 26-11-12 09:55 PM

hya đó b – luffykunneu 26-11-12 09:44 PM

nhưng hơi khó nhỉ – babylionneu 26-11-12 09:04 PM

chỉ có max thôi ah? – banhquykeomut 26-11-12 08:11 PM

Còn GTNN sao anh Tân ơi? – Xusint 26-11-12 07:43 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 26-11-12 05:45 PM

score 5 · Answer 4

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Ta có:
$(a+b)(a-b)^2\ge0$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$
$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\ge(a+b)^3$
Suy ra:
$P\le\frac{4(a+b)^2}{(a+b)^3}=\frac{4}{a+b}\le2$, do $a,b\ge1$
Max$P=2\Leftrightarrow a=b=1$