logarit

Question

$ \frac{log_{2} (x+1)^{2}-log_{3}(x+1)^{3}}{x^{2}-3x-4}>0$
$ (x+1)log_{\frac{1}{2}}x + 3\geqslant 0$

score 1 · Answer 1

a) ĐK: $x>-1$.
Ta có:
$\frac{\log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}}{x^2-3x+4}>0$
$\Leftrightarrow \left[ \log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}\right](x+1)(x-4)>0$
$\Leftrightarrow (2\log_23-3)(x+1)(x-4)\log_3(x+1)>0$
$\Leftrightarrow x\in (-1,0)\bigcup (4,+\infty)$.

lịch sử

kung dksrges – xintimmotnua_lov3 23-12-12 07:20 AM

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

ĐK: $x>0$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$3-(x+1)\log_2x\geq 0$
Đặt $\log_2x=t$ thì bất phương trình trở thành:
$3-t(2^t+1)\geq 0$
$t(2^t+1)\leq 3$
Xét hàm số $f(t)=t(2^t+1)$ trên $R$.
Nếu $t<0$ thì $f(t)<0<3$.
Nếu $t\geq 0$ thì $f'(t)=2^t+1+t.2^t\ln 2>0$ nên $f(t)$ đồng biến.
Ta có $f(1)=3$ nên $f(t)\leq 3\Leftrightarrow t\leq 1$.
Tóm lại BPT $f(t)\leq 3$ có nghiệm $t\leq 1$.
Vậy BPT đã cho có nghiệm $x\in (0,2]$.