|
|
Xét phương trình $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2-x}=x^2-2x+m (1)$.
Điều kiện $x\in [0,2]$
Đổi biến $x-1=t$ thì $t\in [-1,1]$ và phương trình trở thành $\sqrt[4]{1+t}+\sqrt[4]{1-t}-t^2=m-1 (2)$.
Xét hàm số $f(t)=\sqrt[4]{1+t}+\sqrt[4]{1-t}-t^2$ trên $[1,-1]$.
Vì $f$ là hàm chẵn nên ta chỉ xét hàm số $f$ trên $[0,1]$.
Có $f'(t)=\frac{1}{4\sqrt[4]{(1+t)^3}}-\frac{1}{4\sqrt[4]{(1-t)^3}}-2t<0,\forall t\in [0,1]$.
Do đó $f(t)$ nghịch biến trên $[0,1]$ và $\sqrt[4]{2}-1\leq f(t)\leq 2$.
PT $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT $(2)$ có 1 nghiệm trên $(0,1]$. Điều này tương đương với $\sqrt[4]{2}\leq m<3$.
|