giải giúp bài này với

Question

Xác định giá trị của $m$ để hệ phương trình $\begin{cases}x-2y= 4-m\\ 2x+y=3m+3 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất $(x ; y)$ mà biểu thức $A = x^{2}+ y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Ta có: $\begin{cases}x-2y= 4-m\\ 2x+y=3m+3 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x-2y= 4-m\\ 4x+2y=6m+6 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=m+2\\y=m-1 \end{cases}$
Suy ra:
$A=x^2+y^2$
     $=(m+2)^2+(m-1)^2$
     $=2m^2+2m+5$
     $=2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{2}\ge\frac{9}{2}$
Min$A=\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=4-m\\ 2x+y=3m+3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-2y=4-m\\ 4x+2y=6m+6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x=10+5m\\ x-2y=4-m \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=m+2\\ y=m-1 \end{array} \right.$
ta có: $x^2+y^2=(m+2)^2+(m-1)^2=m^2+4m+4+m^2-2m+1=2m^2+2m+5$
$=2(m^2+m+\frac{1}{4})+\frac{9}{2}\geq \frac{9}{2}$
Vậy $(x^2+y^2)_{min}=\frac{9}{2}$ tại $m=\frac{-1}{2}$ hay $x=\frac{3}{2};y=\frac{-3}{2}$