Lượng giác.

Question

Giải phương trình:

$\sin3x+\cos3x-\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos2x$

score 6 · Answer 1

Phương trình đã cho tương đương với:

$3\sin x-4\sin^3x+4\cos^3x-3\cos x-\sin x+\cos x=\sqrt2(\cos^2x-\sin^2x)$

$\Leftrightarrow 2(\cos x-\sin x)+4(\cos x-\sin x)(\cos^2x+\sin x\cos x+\sin^2x)=\sqrt2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$

$\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)[2+4(1+\sin x\cos x)-\sqrt2(\sin x+\cos x)]=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x=\sin x&(1)\\ 2+4(1+\sin x\cos x)-\sqrt2(\sin x+\cos x)=0&(2)\end{array} \right.$
Ta có:

$(1)\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$ .
Đặt

$t=\sin x+\cos x\Rightarrow t^2=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$
Phương trình

$(2)$ trở thành:

$2+4(1+\frac{t^2-1}{2})-\sqrt2t=0$

$\Leftrightarrow 2t^2-\sqrt2t+4=0$ , vô nghiệm.
Vậy:

$x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

1 Đáp án