TOÁN 11: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Question

chứng minh rằng với mọi n thuộc N* ta luôn có bất đẳng thức;
$1+ \frac{1}{\sqrt{2}} +...+\frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \sqrt{ n}$

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

n=1 đúng vì $1<2\sqrt{1}$
Giả sử đpcm đúng với $n=k$
hay $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{k}$
Với n=k+1
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
Ta chứng minh
$2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1}$ <=> $2\sqrt{k(k+1)}+1<2(k+1)$ <=> $k(k+1)<(k+1/2)^2$
<=> $1/4>0$ (Đúng)
Vậy với $n=k+1$ BĐT đúng.
Suy ra ĐPCM