cấp số cộng

Question

Cho a,b,c lập thành một cấp số cộng. CMR
a,

$a^{2}+8bc=(2b+c)^{2}$ .
b,

$a^{2}+ab+b^{2}, a^{2}+ac+c^{2}, b^{2}+bc+c^{2}$ lập thành một cấp số cộng

score 1 · Answer 1

a,

$a^{2}+8bc=(2b+c)^{2}$ .
CM:
Vì

$a,b,c$ lập thành một cấp số cộng nên

$b=\frac{a+c}{2}$
Vậy ra có

$a^2+8bc=a^2+4(a+c)c=a^2+4ac+4c^2=(a+2c)^2=((a+c)+c)^2=(2b+c)^2$
Vậy => ĐPCM

b,

$a^{2}+ab+b^{2}, a^{2}+ac+c^{2}, b^{2}+bc+c^{2}$ lập thành một cấp số cộng
Để chứng minh 3 số này tạo thành CSC
Ta sẽ chứng minh

$(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)=2(a^2+ac+c^2)$
Thật vậy, điều này <=>

$ab+2b^2+bc=a^2+2ac+c^2 \Leftrightarrow 2b^2+b(a+c)=(a+c)^2$

$\Leftrightarrow 2b^2+b.2b=(a+c)^2$ (vì a+c=2b)

$\Leftrightarrow 4b^2=(a+c)^2$
Điều này đúng vì

$a+c=2b$
Vậy => ĐPCM

1 Đáp án