hình 11

Question

Cho hình lâp phương ABCD.A'B'C'D' độ dài cạnh là d. Gọi $\overrightarrow{AA'}$ = $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD}$. = $\overrightarrow{c}$ . G và G' là trọng tâm tam giác A'BD & CB'D'
1, Biểu diễn

AC′−→−; AG−→−; AG′−→− qua

a→, b→, c→
2, C/m: A, G, G', C' thẳng hàng và AC' vuông góc với 2 mp (A'BD) & (CB'D')
3, Tính khoảng cách giữa 2 mp (A'BD) & (CB'D') ; khoảng các h giữa 2 đường thẳng A'B & CB'
4, Tính cosin của 2 góc giữa 2 đường thảng AI & CD' ( I là trung điểm A'D')
5, Tính độ dài AJ (J là điểm sao cho

JD′−→− = - 3

JC′−→−)

mackhue59 · Answer 1 · 1/16/2013 11:41:18 PM

1. $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$.
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$.
$\overrightarrow{AG'}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}))$.

2. Từ 1. suy ra $A,G,G',C$ thẳng hàng.
Có $\overrightarrow{A'B}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{AC'}=0$.
Tương tự: $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{B'C}.\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{B'D'}.\overrightarrow{AC'}=0$.
Từ đó suy ra $AC'$ vuông góc với $(A'BD)$ và $(CB'D')$.

3. Khoảng cách cần tìm là $GG'$.
Ta có $\overrightarrow{GG'}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ nên $GG'^2=\frac{\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{c}^2}{9}=\frac{d^2}{3}$.

4. $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{c}}{2},\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.
Từ đó suy ra $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{C'D}=d^2$.
Mặt khác $AI=\frac{d\sqrt{5}}{2}$ và $C'D=d\sqrt{2}$ nên $\cos (AI,C'D)=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

5. $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{a}+\frac{3\overrightarrow{b}}{4}+\overrightarrow{c}$ nên $AJ=\frac{d\sqrt{41}}{4}$.