Một bài toán hình học phẳng khá hay nhưng mình chưa giải được. Các bạn giúp mình nhé.

Question

Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3;-7)$, trực tâm $H(3;-1)$, tâm đường tròn ngoại tiếp $I(-2;0)$. Xác định tọa độ đỉnh $C$ biết $C$ có hoành độ dương.

score 1 · Answer 1

Goi (C) la duong tron tam $I(-2;0)$; ban kinh $R=IA=\sqrt{74}$
Phuong trinh duong tron (C): $(x+2)^{2}+y^{2}=74$
Phuong trinh AH: $x=3$. Vi $AH\veebar BC$ nen phuong trinh BC co dang: $y=m (m\neq -7) $do BC khong di qua A.
Do do hoanh do B; C thoa man phuong trinh:
$ (x+2)^{2} +m^{2}=74\Leftrightarrow x^{2}+4x+m^{2}-70=0(1)$. Phuong trinh (1) co 2 nghiem phan biet, trong do co it nhat 1 nghiem duong khi $\left| {a} \right|<\sqrt{74}$.
Do C co hoah do duog nen $B(-2-\sqrt{74-a^{2}};a); C(-2+\sqrt{74-a^{2}};a)$
Do $AC\veebar BH$ ,suy ra: $\overrightarrow{AC}\overrightarrow{BH}=0\Leftrightarrow a^{2}+4a-21=0\Leftrightarrow a=-7(loai)$ hoac $a=3(tm)$
Vay: $C(\sqrt{65}-2;3)$

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$ nên $M(-2,3)$.
Ta có $\overrightarrow{AH}=(0,6)$ là VTPT của $BC$ nên phương trình của $BC$ có dạng:
$0(x+2)+6(y-3)=0$ hay $y=3$.
Giả sử $B(a,3)$ và $C(b,3)$ thì $a+b=-4$.
Vì $\overrightarrow{BH}=(3-a,-4)$ và $\overrightarrow{AC}=(b-3,10)$ nên ta có $(3-a)(b-3)-40=0$ suy ra $ab=-61$.
Từ đây không tìm được $B$ và $C$.