Oxy hay

Question

1. Trong mp

$Oxy$ , cho tam giác

$ABC$ nhọn. viết ptdt chứa cạnh

$AC$ biết toạ độ chân các đường cao hạ từ định

$A,B,C$ lần lượt là

$A'(-1;-2), B'(2;2), C'(-1;2)$

2. Trong mp

$Oxy$ , cho 2 đthẳng:

$d1:3x+y+5=0$ và

$d2:x-3y+5=0$ . Điểm

$I (1;-2)$ . Gọi

$A$ là giao điểm cùa

$d1,d2$ . Viết ptdt qua

$I$ cắt

$d1,d2$ lần lượt tại

$B,C$ sao cho

$\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$ đạt GTNN

Bạn có thể copy cũng được! Nhưng hãy chỉnh sửa những kí hiệu latex để các bạn còn tìm kiếm được. Nếu k chỉnh sửa lại thì sẽ không tìm kiếm được! Mong bạn rút kinh nghiệm. (BQT). thank

score 3 · Answer 1

Bài 2.

Dễ thấy

${d_1} \bot {d_2}$ và

${d_1}$ cắt

${d_2}$ tại

$A(-2;1)$ .

Gọi d là đường thẳng qua I và cắt

${d_1},{d_2}$ tại B, C.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d.

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{I^2} - I{H^2}}} \ge \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{18}}$

$Min\left( {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{1}{{18}} \Leftrightarrow H \equiv I$

Vậy d là đường thẳng qua I và vuông góc với AI.

Ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng d:

$x - y - 3 = 0$ .

score 3 · Answer 2

Bài 2.

Dễ thấy

${d_1} \bot {d_2}$ và

${d_1}$ cắt

${d_2}$ tại

$A(-2;1)$ .

Đường thẳng d qua I và có vtpt là

$\overrightarrow n = (a;b)$ nên d có phương trình:

$a(x - 1) + b(y + 2) = 0$

Do tam giác ABC vuông tại A nên

$\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

$d(A;d) = \frac{{\left| { - 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{\sqrt {{3^2} + {3^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {18}$

$\Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}} \ge \frac{1}{{18}}$

Vậy:

$Min\left( {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{1}{{18}} \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 3}} = \frac{b}{3} \Leftrightarrow a = - b \Leftrightarrow d:x - y - 3 = 0$