|
|
KMTTQ, giả sử $a\leq b\leq c.$
Xét hàm số $f(x)=ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)$ liên tục trên $R$.
Có $f(a)=bc(a-b)(a-c),f(b)=ca(b-c)(b-a),f(c)=ab(c-a)(c-b)$ nên
$f(a).f(b).f(c)=-[abc(a-b)(b-c)(c-a)]^2\leq 0.$
Ta có 2 TH:
Nếu trong $f(a),f(b),f(c)$ có 1 số âm, 2 số dương, giả sử $f(a)\leq 0\leq f(b),f(c)$ thì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm nằm giữa $a$ và $b$.
Nếu $f(a),f(b),f(c)\leq 0$ thì từ giả thiết $a\leq b\leq c$ ta suy ra $ab,bc\leq 0\leq ca$.
Vì $a\leq b$ và $ab\leq 0$ nên $a\leq 0\leq b$.
Vì $bc\leq 0$ nên $c\leq 0\Rightarrow b=c=0$.
Khi đó $f(x)=0,\forall x\in R.$
Tóm lại, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm trên $R$.
|