|
|
Trên $AB,AC,AD$ lấy $B',C',D'$ sao cho $\overrightarrow{AB'}=\frac{\overrightarrow{AB}}{AB},\overrightarrow{AC'}=\frac{\overrightarrow{AC}}{AC},\overrightarrow{AD'}=\frac{\overrightarrow{AD}}{AD}$.
Lấy $T$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{TA}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{AD'}$.
Như vậy: $AB'=AC'=AD'=1,AT=\sqrt{3}.$
Khi đó: $MB=MB.AB'\geq \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{AB'}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB'}+AB.$
Tương tự: $MC\geq \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AC'}+AC,MD\geq \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AD'}+AD.$
Ta cũng có: $\sqrt{3}MA=MA.AT\geq \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AT}.$
Cộng 4 BĐT trên vế theo vế ta được:
$\sqrt{3}MA+MB+MC+MD\geq AB+AC+AD$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv A$.
|