Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng(4).

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a\sqrt{2},\,AD=a,\,SA\perp (ABCD)$ và $SA=a.$
a) $M$ là trung điểm $AB.$ Chứng minh $DM\perp (SAC)$
b) $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho $SB=3SE.$ Chứng minh $SB\perp (DAE)$

Em xem lại đề rồi ạ, em gõ đúng như đề bài ạ.

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 3/15/2013 6:05:55 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b/ Cách khác:
Có $SB^{2}= SA^{2}+AB^{2}$=> SB= a$\sqrt{3}$
Mà SE= SB/3 => SE= a$\sqrt{3}$/3
Xét $\Delta$SAE: cosASE= SE/SA= $\frac{\sqrt{3}}{3}$
sinSAE= SE/AS= $\frac{\sqrt{3}}{3}$
=> cosASE= sinSAE
=> $\widehat{ASE} và\widehat{SAE}$ là 2 góc phụ nhau => $\widehat{ASE} +\widehat{SAE}$ = $90^{0}$
=> $\widehat{SEA}$= $90^{0}$
=> SB vuông góc với AE
Mặt khác SB vuông góc với AD (do AD vuông góc với mp(SAB))
=> SB vuông góc với (AED) (ĐPCM)

Trả lời 15-03-13 06:05 PM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 2 · 3/15/2013 5:53:02 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Cách khác:

a/ Ta di chứng minh: DM vuông góc với AC
Gọi O là giao của DM và AC
Có tan ACB= a$\sqrt{2}$/a= $\sqrt{2}$
tan DMA= $\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}$= $\sqrt{2}$
=> $\widehat{ACB}$= $\widehat{DMA}$ hay $\widehat{ACB}$= $\widehat{AMO}$
=> $\Delta$AMO $\sim $$\Delta$ACB => $\widehat{AOM}$= $\widehat{ABC}$ =$90^{0}$
=> DM vuông góc với AC
Mặt khác AC lại vuông góc với SA => DM vuông góc với (SAC)

Trả lời 15-03-13 05:53 PM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 3/15/2013 5:00:32 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b) Dễ thấy $SB \perp DA$ nên ta chỉ cần chứng minh $SB \perp AE$. Mà tam giác $SAB$ vuông tại $A$ thì chỉ cần kiểm tra hệ thức lượng $SA^2=SE.SB$ xảy ra.
Mặt khác điều này đơn giản vì
$SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt 3, SE =\dfrac{1}{3}SB=\dfrac{1}{3}a\sqrt 3$.
Như vậy
$SE.SB=\dfrac{1}{3}a\sqrt 3.a\sqrt 3=a^2=SA^2$, đpcm.

Trả lời 15-03-13 05:00 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 3/15/2013 4:51:46 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a) Để chứng minh câu a ta chỉ cần chứng minh $MD \perp AC$ bởi vì dễ thấy $SA \perp MD.$
Chứng minh $MD \perp AC$ là một bài toán phụ gặp rất nhiều ở cấp hai, em có thể vẽ hình chữ nhật $ABCD$ ra riêng như hình học phẳng và trung điểm $M$ cũng như độ dài các cạnh. Các phương pháp thường dùng có thể là cộng góc, Ta-let và định lý đảo Py-ta-go... Ở đây a sẽ trình bày một phương pháp ngắn gọn khác
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $S_{BMC}=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}\Rightarrow S_{DAMC}=\dfrac{3}{4}S_{ABCD}=\dfrac{3}{4}a^2\sqrt 2 .$
Mặt khác dễ tính $MD=a\sqrt{\dfrac{3}{2}}, AC=a\sqrt 3.$
Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $MD, AC$ ta có công thức
$S_{DAMC}=\dfrac{1}{2}.NM.AC.\sin \phi$
$\Rightarrow \dfrac{3}{4}a^2\sqrt 2=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{\dfrac{3}{2}}.a\sqrt 3.\sin \phi$
$\Rightarrow \sin \phi=1\Rightarrow \phi =90^\circ$, đpcm.

Trả lời 15-03-13 04:51 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Anh Tân ơi công thức tính diện tích tứ giác DAMC = $\dfrac{1}{2}.NM.AC.\sin \varnothing $ em không hiểu điểm $N$ ở đâu và công thức này nguồn gốc thế nào ạ? – Xusint 28-03-13 04:53 PM