đại 11 [đang ẩn]

Đặt $f(x) = a{x^2} + bx + c$

Ta có: $2a + 6b + 19c = 0 \Leftrightarrow c =  - \frac{{2a + 6b}}{{19}}$

$f(0) = c = \frac{{ - 2a - 6b}}{{19}}$

$f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b + c = \frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b - \frac{{2a + 6b}}{{19}} = \frac{{a + 3b}}{{171}}$

$\Rightarrow f(0).f(3) = \frac{-2}{{3249}}{(a + 3b)^2}$

* TH1: $a + 3b = 0$. Do $2a + 6b + 19c = 0$. Suy ra: $c = 0$. 

          Phương trình có nghiệm $x = 0 \in {\rm{[0;}}\frac{1}{3}{\rm{]}}$

* TH2: $a + 3b \ne 0 \Rightarrow f(0).f(3) = \frac{-2}{{3249}}{(a + 3b)^2} < 0$

          Mà f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên đoạn ${\rm{[0;}}\frac{1}{3}{\rm{]}}$  

          Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( {{\rm{0;}}\frac{1}{3}} \right) \subset \left[ {{\rm{0;}}\frac{1}{3}} \right]$

Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm trên đoạn ${\rm{[0;}}\frac{1}{3}{\rm{]}}$ .