1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2012^{2}+2013^{2}} <\frac{1}{2}$
2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq1$ ta có:
$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{n2+(n+1)2} <\frac{9}{20}$
3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$ thì tổng:
$S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n2-1}{n2}$ không thể là một số nguyên.
4. Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>4$
5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
$\frac{1}{1.\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n+1}} > 2\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )$