1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a) Nếu $\frac{a}{b}<1 thì \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$
b) Nếu $\frac{a}{b}>1 thì \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
1<$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$<2
3. Cho a, b, c, d là bốn số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng số:
X=$\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} $không phải là số nguyên.
4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{3} + b^{3} + abc}$+$\frac{1}{b^{3} + c^{3} + abc}$+$\frac{1}{c^{3} + a^{3} + abc}$$\leq \frac{1}{abc}$
5. Cho x, y, z > 0 và xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=$\frac{1}{x^{3} + y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}$
6. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=abc
Chứng minh rằng: $\frac{a^{4} + b^{4}}{(a^{3} + b^{3})ab}+\frac{b^{4} + c^{4}}{bc(b^{3} + c^{3})}+\frac{c^{4} + a^{4}}{ca(a^{3} + a^{3})}\geq 1$