Oxy hay

Question

1. Trong mp $Oxy$, cho tam giác $ABC$ nhọn. viết ptdt chứa cạnh $AC$ biết toạ độ chân các đường cao hạ từ định $A,B,C$ lần lượt là $A'(-1;-2), B'(2;2), C'(-1;2)$

2. Trong mp $Oxy$, cho 2 đthẳng:

$d1:3x+y+5=0$ và $d2:x-3y+5=0$. Điểm $I (1;-2)$. Gọi $A$ là giao điểm cùa $d1,d2$. Viết ptdt qua $I$ cắt $d1,d2$ lần lượt tại $B,C$ sao cho $\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$ đạt GTNN

Bạn có thể copy cũng được! Nhưng hãy chỉnh sửa những kí hiệu latex để các bạn còn tìm kiếm được. Nếu k chỉnh sửa lại thì sẽ không tìm kiếm được! Mong bạn rút kinh nghiệm. (BQT). thank

score 3 · Answer 1

Bài 2.

Dễ thấy ${d_1} \bot {d_2}$ và ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $A(-2;1)$.

Gọi d là đường thẳng qua I và cắt ${d_1},{d_2}$ tại B, C.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d.

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

\[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{I^2} - I{H^2}}} \ge \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{18}}\]

\[Min\left( {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{1}{{18}} \Leftrightarrow H \equiv I\]

Vậy d là đường thẳng qua I và vuông góc với AI.

Ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng d: $x - y - 3 = 0$.

score 3 · Answer 2

Bài 2.

Dễ thấy ${d_1} \bot {d_2}$ và ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $A(-2;1)$.

Đường thẳng d qua I và có vtpt là $\overrightarrow n = (a;b)$ nên d có phương trình: \[a(x - 1) + b(y + 2) = 0\]

Do tam giác ABC vuông tại A nên $\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

$$d(A;d) = \frac{{\left| { - 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{\sqrt {{3^2} + {3^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {18} $$

\[ \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}} \ge \frac{1}{{18}}\]

Vậy:

\[Min\left( {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{1}{{18}} \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 3}} = \frac{b}{3} \Leftrightarrow a = - b \Leftrightarrow d:x - y - 3 = 0\]

score 1 · Answer 3

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$
Ta có tứ giác $BA'HC'$ nội tiêp (do $\widehat{BC'A'}=\widehat{BA'H}=90^ 0)$
$\rightarrow \widehat{C'BH}=\widehat{C'A'H}$ (Do cùng chắn cung $C'H$)
cmtt Tứ giác $BC'B'C$ và$B'HA'C$ nội tiếp
$\rightarrow \widehat{C'BH}=\widehat{HCB'} ;\widehat{HA'B'}=\widehat{HCB'}$
$\rightarrow \widehat{C'A'H}=\widehat{HA'B'}\rightarrow A'H$ là tia phân giác của góc $\widehat{C'A'B'}$
Chứng minh tương tự có $B'H ' ;C'H$ là phân giác góc $\widehat{C'B'A'};\widehat{B'C'A'}$
$\rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác$\Delta A'B'C'$
Vậy bạn chỉ cần tìm $H$ Với $H$ là tâm đườn tròn ngoại tiếp $\Delta A'B'C'$
$AC$ quá $B'$ và vuông $HB'$