Trước tiên , ta sẽ chứng minh$P=\left[ {\frac{n+3}{4}} \right]+\left[ {\frac{n+5}{4}} \right]+\left[ {\frac{n}{2}} \right]=n+1$
Nếu $n=4k$ thì
$P=k+(k+1)+2k=4k+1=n+1$
Nếu $n=4k+1$ thì
$P=(k+1)+(k+1)+2k=4k+2=n+1$
Nếu $n=4k+2$ thì
$P=(k+1)+(k+1)+(2k+1)=4k+3=n+1$
Nếu $n=4k+3$ thì
$P=(k+1)+(k+2)+(2k+1)=4k+4=n+1$
Vậy $P=n+1$
$\Rightarrow A=(n+1)+(n^2+3n-1)=n^2+4n=n(n+4)$
Là tích của hai số tự nhiên , để A nguyên tố thì $n=1$ . Khi đó $A=5$