Gọi $K$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$ và $Q$ là giao điểm của $AI$ và $EF$Xét $\triangle CIK$ và $\triangle BIA$ có
$IB=IC , IA=IK $ $\widehat{AIB}=\widehat{CIK}$
$\Rightarrow \triangle CIK=\triangle BIA (c.g.c) \Rightarrow CK=AB , CK//AB$
Do $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}=90 \Rightarrow \widehat{EAF}+\widehat{BAC}=180$
Do $CK//AB\Rightarrow \widehat{ACK}+\widehat{BAC}=180$
Vậy $\widehat{EAF}=\widehat{ACK}$
Kế hợp với $CK=AE$ ( cùng bằng $AB$ ) , $AC=AF$
Ta suy ra $\triangle AEF=\triangle CEK (c.g.c) $
$\Rightarrow AK=EF \Rightarrow AI=\frac{1}{2}EF$
$\widehat{CAK}=\widehat{AFE}$
Mà $\widehat{CAK}+\widehat{FAQ}=90 $ do $\widehat{FAC}=90$
$\Rightarrow \widehat{AFE}+\widehat{FAQ}=90 \Rightarrow AQ$ vuông góc $EF$