$sinx+\frac{1}{2}sin2x=1+cosx+cos^2x$
$\Leftrightarrow sinx +sinx.cosx=1+cosx+cos^2x$
$\Leftrightarrow sinx(1+cosx)=1+cosx+cos^2x$
$\Leftrightarrow (sinx-1)(1+cosx)=cos^2x$
Ta thấy rằng $sinx-1\le 0 , 1+cosx\ge0 $ nên vế trái luôn không dương , còn vế phải thì lại luôn không âm . Vậy cả hai vế bằng $0$
$\Rightarrow cosx=0 , sinx=1$
$\Rightarrow x=2k\pi+\frac{\pi}{2}$