a. Vì $AB$ vuông góc $CD$ nên $MP$ vuông góc $MQ$Từ đây suy ra $PQ$ là đường kính của đường tròn
$\Rightarrow MP^2+MQ^2=PQ^2=4R^2$
b.
$A$ là điểm chính giữa cung $MQ$ nên $PA$ là tia phân giác của $\widehat{MPQ}$
$C$ là điểm chính giữa cung $MP$ nên $QC$ là tia phân giác của $\widehat{MQP}$
Vậy giao điểm $I$ của $PA$ và $QC$ là tâm nội tiếp $\triangle MPQ$
Ta có
$\widehat{IPQ}+\widehat{IQP}=\frac{1}{2}(\widehat{MPQ}+\widehat{MQP})=45$
$\Rightarrow \widehat{PIQ}=135$
$\Rightarrow \widehat{AIC}=135$
Vậy $I$ nằm trên cung chứa góc $135$ độ dựng trên đoạn $AC$