Trước hết ta biến đổi vế trái$2sin(3x+\frac{\pi}{4})=2(sin3x.cos\frac{\pi}{4}+cos3x.sin\frac{\pi}{4})$
$=\sqrt2(sin3x+cos3x)$
Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có
$2(sin3x+cos3x)^2=1+8sin2x.cos^22x$
$\Rightarrow 2(sin^23x+cos^23x+2sin3x.cos3x)=1+8sin2x.cos^22x$
$\Rightarrow 2(1+sin6x)=1+8sin2x.cos^22x$
$\Rightarrow 1+2sin6x=8sin2x.cos^22x (1)$
Áp dụng công thức góc nhân $3$
$sin3a=sina.(4cos^2a-1)$
(Bạn có thể tự chứng minh bằng cách tách $3a=a+2a$)
Ta có
$sin6x=sin2x.4cos^22x-sin2x$
$\Rightarrow 2sin6x=8sin2x.cos^22x-2sin2x$
Thay vào $(1)$
$\Rightarrow 1-2sin2x=0$
$\Rightarrow sin2x=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi , \frac{5\pi}{6}+2k\pi$
$\Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+k\pi , \frac{5\pi}{12}+k\pi$
Bây giờ ta kiểm tra lại điều kiện $sin(3x+\frac{\pi}{4})\ge0$ mà ta đã dùng để bình phương
Khi $x=\frac{\pi}{12}+k\pi$
$sin(3x+\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{2}+3k\pi)=1$ khi $k $ chẵn , $-1$ khi $k$ lẻ
Khi $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$
$sin(3x+\frac{\pi}{4})=sin(\frac{3\pi}{2}+3k\pi)=-1$ khi $k$ chẵn , $1$ khi $k$ lẻ
Kết luận
$x=\frac{\pi}{12}+k\pi$ với $k$ nguyên chẵn
$x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$ với $k$ nguyên lẻ