$(tanx+1)sin^2x+cos2x+2=3(cosx+sinx)sinx$$\Leftrightarrow cos2x+2-2(cosx+sinx)sinx=(cosx+sinx)sinx-(tanx+1)sin^2x$
$\Leftrightarrow cos2x+2-2cosxsinx-2sin^2x=(cosx+sinx)sinx(1-\frac{sinx}{cosx})$
$\Leftrightarrow cos2x+2cos^2x-2cosxsinx=(cosx+sinx)sinx.\frac{cosx-sinx}{cosx}$
$\Leftrightarrow (cos^2x-sin^2x)+2cosx(cosx-sinx)=(cosx+sinx).\frac{sinx}{cosx}.(cosx-sinx)$
$\Leftrightarrow (cosx-sinx)(3cosx+sinx)=(cosx-sinx).(cosx+sinx).\frac{sinx}{cosx}$
TH1. $cosx-sinx=0$
$\Rightarrow tanx=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2k\pi , \frac{5\pi}{4}+2k\pi$
TH2. $3cosx+sinx=(cosx+sinx).\frac{sinx}{cosx}$
$\Leftrightarrow (3cosx+sinx)cosx=(cosx+sinx)sinx$
$\Leftrightarrow 3cos^2x=sin^2x$
$\Leftrightarrow tan^2x=3$
$\Leftrightarrow tanx=\pm \sqrt3$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+2k\pi , \frac{2\pi}{3}+2k\pi , \frac{4\pi}{3}+2k\pi , \frac{5\pi}{3}+2k\pi$