$y=x^3+3x^2-mx+2$$y'=3x^2+6x-m$
Gọi $A(x_1,y_1) , B(x_2,y_2)$ là hai điểm cực trị .
Khi đó $x_1,x_2$ là hai nghiệm của tam thức
$3x^2+6x-m=0$
$\triangle'=9+3m\ge 0\Leftrightarrow m\ge -3$
Và $\begin{cases}x_1+x_2=-2 \\ x_1.x_2=-\frac{m}{3} \end{cases}$
Đặt phép chia đa thức ta có
$x^3+3x^2-mx+2=(x^2+2x-\frac{m}{3})(x+1)-(\frac{2m}{3}+2)x+\frac{m}{3}+2$
$\Rightarrow y=\frac{y'}{3}-(\frac{2m}{3}+2)x+\frac{m}{3}+2$
Do $y'(x_1)=y'(x_2)=0$
$\Rightarrow \begin{cases}y_1=-(\frac{2m}{3}+2)x_1+\frac{m}{3}+2 \\ y_2=-(\frac{2m}{3}+2)x_2+\frac{m}{3}+2 \end{cases}$
$\Rightarrow y_1+y_2=\frac{4m}{3}+4+\frac{2m}{3}+4=2m+8$
Vậy tọa độ của trung điểm $AB$ là
$I(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})=(-1,m+4) (1)$
Khi $x=1 , y(1)=6-m , y'(1)=9-m$
Tiếp tuyến đi qua điểm $(1,6-m)$ với hệ số góc $9-m$ có phương trình là
$d: y+(m-9)x+3=0 (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra khoảng cách cần tìm là
$h=\frac{|m+4+9-m+3|}{\sqrt{1+(m-9)^2}}$
$=\frac{16}{\sqrt{1+(m-9)^2}}\le 16$
Dấu bằng có $\Leftrightarrow m=9$