Bất đẳng thức

Question

1, Cho $\Delta ABC$ thoả mãn: $3\left(\cos B+2\sin C\right)+4\left(\sin B+2\cos C\right)=15.$ Chứng minh rằng $\Delta ABC$ vuông.

2, Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1$ và $a+b+c >\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$ Chứng minh rằng:

a, $\left(a-1\right)(b-1)(c-1) >0$ b, Trong ba số $a,\,b,\,c $ có đúng một số lớn hơn $1.$

3, Cho ba số $x,\,y,\,z>0$ thỏa mãn x$yz=1.$ Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z.$

4. Cho $a,\,b,\,c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$ . Chứng minh rằng: $abc\leq \frac{1}{8}$

Bạn coi lại đề câu 2 hình như là a b c > 1/a 1/b 1/c

score 3 · Answer 1

Nếu đề là $a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ thì ta cm được cả 2 câu

Như câu kia ta có $(a-1)(b-1)(c-1)=(abc-1)+(a+b+c)-abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$=(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})>0$ (đpcm(a))

Vậy 2 trong 3 số $a-1, b-1, c-1$ âm. Hoặc cả 3 số đều dương

Nếu cả 3 số dương $\Rightarrow a,b,c>1\Rightarrow abc>1$ (mâu thuẫn)

Vậy có 2 trong 3 số đó âm $\Leftrightarrow $ trong 3 số $ a,b,c$ có đúng 1 số lớn hơn 1 (đpcm (b))

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

4. Từ ĐK
$\frac{1}{1+a}\geq 1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$
Áp dụng BDT Cosi, ta được:
$\frac{1}{1+a}\geq2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
CM tương tự, ta đc:
$\frac{1}{1+b}\geq2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}}$
$\frac{1}{1+c}\geq2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}$
Nhân vế với vế => đpcm.
Lời giải đúng thì vote cho mình nhé!

score 2 · Answer 3

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Câu 2 thế này... Nếu cái đề nhưu ban nói:

Ta có ($a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1$

$=(abc-1)-abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+a+b+c$

$=(abc-1)\left[1-(a+b+c) {} \right]=0$

score 2 · Answer 4

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Bài 1:
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái:
$VT=3(cosB+2sinC)+4(sinB+2cosC)\leq \sqrt{(3^2+4^2)[(cosB+2sinC)^2+(sinB+2cosC)^2]}$
$=5\sqrt{cos^2B+4cosBsinC+4sin^2C+sin^2B+4sinBcosC+4cos^2C}$
$=5\sqrt{(cos^2B+sin^2B)+(4sin^2C+4cos^2C)+4cosBsinC+4sinBcosC}$
$=5\sqrt{5+4(sinBcosC+cosBsinC)}$
$=5\sqrt{5+4sin(B+C)}$
$=5\sqrt{5+4sinA}\leq 5\sqrt{5+4}=15$ (do $sinA\leq 1$)
Thấy rõ: $VT\geq VP$
Dấy bằng ảy ra khi $sinA=1$ tức $A=90$ vậy tam giác ABC vuông tại A

score 2 · Answer 5

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Mình giải bài số 3 nhé:
Ta có, theo bất đẳng thức Cô si dành cho 3 số dương
$x^3+1+1\geq 3x$
$y^3+1+1\geq 3y$
$z^3+1+1\geq 3z$
Cộng theo vế suy ra:
$x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)$
$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geq (x+y+z)+2(x+y+z)-6$ (1)
Theo bấtđẳng thức cô si
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$ (do $xyz=1$)
$\Leftrightarrow 2(x+y+z)\geq 6$
$\Leftrightarrow x+y+z+2(x+y+z)-6\geq x+y+z-6+6$
$\Leftrightarrow x+z+y+2(x+y+z)-6\geq x+y+z$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm: $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z$ (với $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$