Điều kiện xác định: $ x \geq 1 $
Phương trình đã cho tương đương với:
$ 729\left(x-1\right)^5=32\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\\\Leftrightarrow 729\left(x-1\right)^5=\dfrac{32}{x-\sqrt{x^2-1}}\\\Leftrightarrow 729\left(x-1\right)^5\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)=32 $
Đến đây xét hàm số $f(x)=729\left(x-1\right)^5\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\,\,\mbox{trên}\,\,\left[1;\,+\infty\right],$ ta có:
$f'(x)=3645\left(x-1\right)^4\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)+729\left(x-1\right)^5\left(1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right)$
Dễ thấy $f'(x) > 0,\,\,\forall x \geq 1\Rightarrow f(x) $ đồng biến trên
$[1;\,+\infty] $ nên phương trình $f(x)=0$ có không quá $1$ nghiệm trên khoảng này.
Vậy: phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm $ x=\frac{5}{3}.$