CM một số bất đẳng thức trong tam giác

Question

$1)\sin A+\sin B+\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$2)\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ ABC là tam giác nhọn

$3)\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt{3}$ ABC là tam giác nhọn

$4)\cot A+\cot B+\cot C\geq \sqrt{3}$ ABC là tam giác nhọn

$5)\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leq \frac{9}{4}$

$6)\sin A\sin B\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$7)\cos A\cos B\cos C\leq \frac{1}{8}$

$8)\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$

$9)\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{8} $

$10)\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Câu 6)

Lấy (8) nhân (9)=> (6)

score 6 · Answer 2

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Lấy $\frac{(8)}{(9)}\Rightarrow (10)$

score 6 · Answer 3

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Câu 9)

$\sin A+\sin B+\sin C=4VT(9)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow $ đpcm

score 6 · Answer 4

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Cách làm tương tự câu 7 ta cm được câu 8

score 6 · Answer 5

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Ta có $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2\cos A\cos B\cos C$

Vậy từ câu $7\Rightarrow 5$

score 6 · Answer 6

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Đặt $k=\cos A\cos B\cos C$

$\Leftrightarrow 2k=(\cos (A-B)-\cos C)\cos C$

$\Leftrightarrow \cos^2C-2\cos C\cos(A-B)+2k=0 (*)$

$(*)$ có nghiệm nên $\Delta \geq 0\Leftrightarrow \cos^2(A-B)\geq 8k\Leftrightarrow 8k\leq \cos^2(A-B)\leq 1\Rightarrow $ đpcm

score 6 · Answer 7

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Xét $f(x)=\cot x, x\in (0;\frac{\pi}{2})$

$+f'(x)=-\frac{1}{\sin^2x}$

$+f''(x)=\frac{\sin 2x}{\sin^4x}>0\Rightarrow f(x)$ lõm trên $(0;\frac{\pi}{2})$

Theo Jensen => đpcm

score 6 · Answer 8

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Xét $f(x)=\tan x, x\in (0;\frac{\pi}{2})$

$+f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}$

$+f''(x)=\frac{\sin 2x}{cos^4x}>0\Rightarrow f(x)$ lõm trên $(0;\frac{\pi}{2})$

Theo Jensen ta có được đpcm

lịch sử

score 5 · Answer 9

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Tương tự: Xét $f(x)=\cos x, 0<x<\frac{\pi}{2}$

$+f'(x)=-\sin x$

$+f''(x)=-\cos x<0\Rightarrow f(x)$ lồi trên $(0;\frac{\pi}{2})$

Cũng theo Jensen: $f(A)+f(B)+f(C)\leq 3f(\frac{A+B+C}{2})$

$\Leftrightarrow \cos A+\cos B+\cos C\leq 3\cos\frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

score 5 · Answer 10

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

1)Xét $f(x)=\sin x, 0<x<\pi$

$+f'(x)=\cos x$

$+f''(x)=-\sin x<0\Rightarrow f(x)$ lồi trên $(0;\pi)$

Theo Jensen: $f(A)+f(B)+f(C)\leq 3f(\frac{A+B+C}{3})$

$\Leftrightarrow \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ đpcm

Hỏi	23-07-13 09:14 PM
Lượt xem	5817
Hoạt động	23-07-13 09:45 PM

CM một số bất đẳng thức trong tam giác

10 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

CM một số bất đẳng thức trong tam giác

10 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan