Xét hàm số $f(x) = {x^3} + 3(a + b){x^2} + 3({a^2} + {b^2}) + {a^3} + {b^3}$TXĐ: $D=R$
$f'(x) = 3{x^2} + 6(a + b)x + 3({a^2} + {b^2})$
Ta có: $\Delta ' = 9{(a + b)^2} - 9({a^2} + {b^2}) = 18ab$
TH1: $ab \le 0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $R$. Suy ra $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất.
TH2: $ab > 0 \Rightarrow f'(x) = 0$ có 2 nghiệm bận biệt ${x_{1,2}} = - a - b \pm \sqrt {2ab} $.
Chia $f(x)$ cho $f'(x)$, ta được: $f(x) = {\rm{[}}\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}(a + b){\rm{]}}f'(x) - 4abx - {a^2}b - a{b^2}$
$\Rightarrow f({x_1}) = - 4ab( - a - b - \sqrt {2ab} ) - {a^2}b - a{b^2} = 3{a^2}b + 3a{b^2} + 4ab\sqrt {2ab}$
$f({x_2}) = 3{a^2}b + 3a{b^2} - 4ab\sqrt {2ab} $
$\Rightarrow f({x_1}).f({x_2}) = {(3{a^2}b + 3a{b^2})^2} - 32{a^3}{b^3} = {(3{a^2}b - 3a{b^2})^2} + 4{a^3}{b^3} > 0$
$\Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất.
Tóm lại: phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất với mọi $a,b$.