Bất đẳng thức

Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Chứng minh:

a) $\frac{a}{\sqrt[3]{b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt[3]{c^2+a^2}}+\frac{c}{\sqrt[3]{a^2+b^2}}\leq2\times\sqrt[3]{4}$

b) $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}})-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\leq6$

c) $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}\geq9$

d) $\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b+c+d}+\sqrt{b+d+a}+\sqrt{c+d+a}\leq2\times\sqrt{3}$ ( với a+b+c+d=1)

score 0 · Answer 1

Câu 1: ơ dưới mẫu phải la mũ 3 .thế thì áp dụng bđt a^3 +b^3 => {(a+b)^3 }/4 .thay vào ta chỉ cần CM bđt A=a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) <=2 .Gỉa sử a=>b=>c.nên A <= 1+c/(a+b) <2 (do c<a+b vì a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác)

Câu 3:Gỉa sử a=>b=>c.Biến đổi tương đương ta đưa về (a-b)(b-c)(a-c) =>0(luôn đúng)

Câu 4:áp dụng bđt bunhiacopxki co {căn(a+b+c) + căn(b+c+d) + căn(c+d+a) + căn(b+d+a) }^2 <= 4.(3a+3b+3c+3d)=12.(a+b+c+d)=12.nên tổng của chúng nhỏ hơn căn 12=2.căn3

Câu 2:biến đổi tương đương rồi đưa về bđt tam giác là ra