Chứng minh các bài tập sau bằng phương pháp phản chứng:1. Cho số tự nhiên $n\geq2$, chứng minh tồn tại số nguyên tố $p$ nằm giữa $n$ và $n!$.
2. Chứng minh mọi số tự nhiên có dạng $4m+1$ đều có ước nguyên tố dạng $4k+1$.
3. Chứng minh không có số nguyên tố nào dạng $4k+3$ mà là tổng của hai số chính phương.
4. Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho $a^{2}-b^{2}=2014$.
5. Cho $\overline{abc}$ là số nguyên tố, chứng minh phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ không có nghiệm nguyên.
6. Cho S là tập hữu hạn điểm thoả tính chất: bất kì tam giác nào có 3 đỉnh thuộc S đều có diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ hơn 4 chứa tấất cả các điểm của S.