Coi $S_n = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}..........\frac{2n + 1}{2n + 2}< \frac{1}{\sqrt{3n + 4}}$
Tôi chỉ làm bước 3 thôi nhé
Ta có bước 2 là
$S_k = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}..........\frac{2k + 1}{2k + 2}< \frac{1}{\sqrt{3k + 4}} \ (1)$
Cần cm đúng với $n=k+1$ tức là
$S_{k+1} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}..........\frac{2k + 3}{2k + 4}< \frac{1}{\sqrt{3k + 7}}$
Thật vậy, nhân $(1)$ với $\dfrac{2k+3}{2k+4}$ ta có
$S_{k+1} = S_k . \dfrac{2k+3}{2k+4} < \frac{1}{\sqrt{3k + 4}} .\dfrac{2k+3}{2k+4} < \frac{1}{\sqrt{3k + 7}}$
Vậy chỉ cần chứng minh $ \frac{1}{\sqrt{3k + 4}} .\dfrac{2k+3}{2k+4} < \frac{1}{\sqrt{3k + 7}}$ đúng
$\Leftrightarrow (2k+3)\sqrt{3k+7} < (2k+4)\sqrt{3k+4}$
$\Leftrightarrow k+1 >0$ hiển nhiên đúng với $k \in N^+$