câu 1 là $n(3n+1)$ thôi, k có bình phương nhé
thử với n=1,ta thấy $1.(3.1+1)=1(1+1)^{2}$ hay 4=4 (đúng)
giả giả sử đẳng thứ đúng với n=k, tức là $1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)^{2}$
ta cần chứng minh nó cũng đúng với n=k+1,tức là
$1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k+2)^{2}$ $(*)$
thật vậy
$(*)\Leftrightarrow 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k^{2}+4k+4)$
$\Leftrightarrow
1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k^{2}+2k+1+2k+3)$
$\Leftrightarrow 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k^{2}+2k+1)+(k+1)(2k+3)$
hay $1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k+1)^{2}+(k+1)(2k+3)$
$\Leftrightarrow
1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)^{2}+(k+1)^{2}+(k+1)(2k+3)$
đặt (k+1) làm nhân tử chung
$\Leftrightarrow 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)^{2}+(k+1)(2k+3+k+1)$
$1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)^{2}+(k+1)(3k+4)$
mà $1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)^{2}$
vậy đẳng thức cũng đúng với n=k+1
câu 2 chưa làm ngay được ,trc tiên phải chứng minh đẳng thức này :
$1+2+3+...+n=\frac{n.(n+1)}{2}$
với n=1, ta có $1=\frac{1.2}{2}$ (đúng)
giả sử đẳng thức đúng với n=k, tức là $1+2+3+...+k=\frac{k.(k+1)}{2}$
ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng với n=k+1, hay $1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
thật vậy $1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{k.(k+1)+2(k+1)}{2}$
hay $1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}$
$\Leftrightarrow 1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$
mà $1+2+3+...+k=\frac{k.(k+1)}{2}$
vậy đẳng thức đúng với n=k+1
đẳng thức được chứng minh( lát sẽ xài tới nó)
quay lại đẳng thức đầu
với n=1, ta có $1^{3}=1^{2}$ (đúng)
giả sử đẳng thức đúng với n=k,tức là $1^{3}+2^{3}+...+k^{3}=(1+2+3+...+k)^{2}$
ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng khi n=k+1,tức là $1^{3}+2^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}$
khai triển vế phải ra là $(1+2+3+...+k)^{2}+2(k+1)(1+2+3+...+k)+(k+1)^{2}$
mà $1+2+3+...+k=\frac{k.(k+1)}{2}$(chứng minh ở đầu bài )
suy ra $2(k+1)(1+2+3+...+k)=2\frac{k(k+1)(k+1)}{2}=k^{3}+2k^{2}+k$
vậy $VP=(1+2+3+...+k)^{2}+k^{3}+2k^{2}+k+(k+1)^{2}=(1+2+3+...+k)^{2}+k^{3}+2k^{2}+k+k^{2}+2k+1=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^{3}$
mà $(1+2+3+...+k)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+k^{3}$
vậy đẳng thức đúng với n=k+1