Tich phan tu O den 1 cua P=(x-e^2x)dx / (x*e^x+e^2x)?

Question

Tich phan
$\int\limits_{0}^{1}\frac{(x-e^{2x})dx}{xe^x+e^{2x}}$

score 3 · Answer 1

Tính $I=\int_0^1 \dfrac{x-e^{2x}}{xe^x +e^{2x}}dx$

Ta có $\dfrac{x+xe^x-e^{2x}-xe^x}{e^x(x+e^x)}=-1+\dfrac{x+xe^x}{e^x(x+e^x)}=$

$-1+\dfrac{x+e^x +xe^x -e^x}{e^x(x+e^x)}=-1+\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{xe^x -e^x}{e^x(x+e^x)}$

$=-1+\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{x-1}{x+e^x}=-1+\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{x+e^x -1-e^x}{x+e^x}$

$=\dfrac{1}{e^x}-\dfrac{1+e^x}{x+e^x}$

Vậy $\int_0^1 \bigg ( \dfrac{1}{e^x}-\dfrac{1+e^x}{x+e^x}\bigg) dx=1-\dfrac{1}{e}-\ln(1+e)$

1 Đáp án