PT tương giao: $\dfrac{x-2}{x-1}=-x+m\Leftrightarrow x^2-mx+m-2=0\quad (1)$Gọi $A(a,-a+m),B(b,-b+m)$ là toạ độ giao điểm thì $a,b$ là hai nghiệm của $(1)$. Ta có
$AB^2=(a-b)^2+(a-b)^2=2(a-b)^2=2(a+b)^2-8ab$.
Theo Vi-ét:
$\begin{cases}a+b=m \\ ab=m-2 \end{cases}\Rightarrow AB^2=2m^2-8(m-2)=2(m-2)^2+8\ge 8$.
Vậy $\min AB=2\sqrt 2\Leftrightarrow m=2.$