PT tương giao: $\dfrac{x+m}{x-1}=2x-1\Leftrightarrow 2x^2-4x+1-m=0\quad (1)$
Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt $\Delta'=2^2-2(1-m)>0\Leftrightarrow m>-1.$
Gọi $A(a,2a-1),B(b,2b-1)$ là toạ độ giao điểm thì $a,b$ là hai nghiệm của $(1)$. Ta có
$14=OA^2+OB^2=a^2+(2a-1)^2+b^2+(2b-1)^2=5(a^2+b^2)-4(a+b)+2$
$=5(a+b)^2-4(a+b)-10ab+2\quad(2)$
Theo Vi-ét:
$\begin{cases}a+b=2 \\ ab=\frac12(1-m) \end{cases} \Rightarrow (2) \Leftrightarrow 20-8-5(1-m)+2=14$
$\Leftrightarrow m=1$.